Weierstrass' eksempel: En kontinuerlig funksjon som ikke er deriverbar i noe punkt

Weierstrass gav i 1872 et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke er deriverbar i noe punkt. Den er definert som summen av rekken

f(x)=sin(x)+(5/12)sin(3x)+(5/12)²sin(3²x)+(5/12)³sin(3³x)+...

(Det er mulig å gi noe enklere eksempler der sinus erstattes med en enklere "byggekloss".) Nedenfor er grafen til funksjonen plottet på ulike skalaer; det karakteristiske er at grafen har den samme "hakkete" formen uansett hvor mye vi forstørrer bildet. (I det første bildet har vi tatt ut den lille røde boksen og blåst den opp; i det andre bildet, som er forstørrelsen av den lille røde boksen i det første bildet, har vi igjen tatt ut en liten boks (den blå) og blåst den opp. Slik kunne vi ha fortsatt i all evighet og i hvert skritt fått samme type "hakkete" graf.)

Altså: En kontinuerlig funksjon kan ha en ganske vill oppførsel, selv om grafen er "sammenhengende". Dette eksemplet illustrerer (forhåpentligvis) at skjæringssetningen ("Intermediate Value Theorem") ikke er en ren trivialitet, det vil si en enkel geometrisk observasjon. (En helt annen sak er at det jo ikke er noen "visuell" forskjell mellom den reelle og den "rasjonale" tallinjen; om vi bare brukte rasjonale tall, ville skjæringssetningen ikke gjelde.)