Komplette snitt (Bergh)

Komplette snitt er en type ringer som stammer fra algebraisk geometri, som koordinatringer til visse pene affine varieteter. Studien av disse kommutative ringene utgjør nå et eget felt, og dette er i dag en meget aktiv gren av kommutativ ringteori. Målet med dette prosjektet er å forstå disse ringene, ved hjelp av relevant litteratur.

4-underromsproblemet (Smalø)

La W være et vektorrom og V_1, V_2 og V_3 være tre underrom. Systemet (W; V_1,V_2,V_3) blir kalt dekomponerbart dersom det finnes ikketrivielle underrom W' og W'' i W slik at

W = W' (direkte sum) W'',

V_i = (W' (snitt) V_i) (direkte sum) (W'' (snitt) V_i)

for i=1,2,3. Det er ikke så vanskelig å vise at dersom systemet (W;V_1,V_2,V_3) ikke dekomponerer, så er dimensjonen til W mindre enn eller lik 2, og at det essensielt bare finnes 9 slike system som ikke dekomponerer.

4-underromsproblemet gikk ut på å beskrive de systemene som ikke dekomponerer når en øker antall underrom fra 3 til 4 som i beskrivelsen ovenfor. Prosjektet går ut på å gå gjennom en løsning av 4-underromsproblemet og relaterte lineæralgebraiske problemer.

Prosjektet passer for opptil tre-fire studenter.

Litteratur: L. A. Nazarova og A. V. Roiter, Representations of Partially Ordered Sets, J. Sov. Math. 3 (1975) 585 - 606.

Forutsetninger: Det er en fordel å ha tatt TMA4150 Algebra og Tallteori/MA2201 Algebra og MA 3201 Ringer og moduler eller tilsvarende.

Grøbnerbasis (Solberg)

I 1960-årene ble nye algoritmer for å manipulere polynomer og system av likninger av polynomer oppdaget av Buchberger og Hironaka. Med raskere datamaskiner kunne implementasjoner av disse algoritmene brukes på en effektiv måte. Dette har hatt stor innvirkning på forskningen i ren og anvendt matematikk. Teorien er også blitt utvidet til ikke-kommutative ``polynomringer'', såkalte veialgebraer.

Med dette som utgangspunkt er det forskjellige muligheter for prosjekter om Grøbnerbasis:

Triangulated categories (Bergh / Oppermann, possibly also Solberg)

Triangulated categories are a way to reduce to the essence the homological algebra. They were first applied in algebraic geometry and algebraic topology, but have now become an indispensable tool also in studying homological aspects of representation theory.

The aim of a project could be to understand the axioms defining a triangulated category, and to verify and apply them on a class of examples.

Having participated in the course MA3204 Homological algebra would be an advantage.

General representations (Oppermann, possibly also Smalø)

The aim of this project is to understand representation of quivers, not by focusing on indecomposables directly, but rather by asking what can be said "generically" about representations of a given dimension vector. In particular it will be possible to ask about a "generic" decomposition of representations into indecomposables.

The tasks involved in this project would be to understand, for instance with the help of Schofield, General representations of quivers (Proc. London Math. Soc. (3), no. 65, 1992) what "generic" means precisely, and why it is possible to make statements about generic representations. Afterwords this would be applied to examples.

Having seen quiver representations would be an advantage for this project.

Tree modules for quivers (Oppermann)

Understanding all (indecomposable) representations of a given quiver is a hopeless task if the quiver is not very small (this phenomenon is called wildness). To still get some impression it is natural to restrict ones focus to a more restrictive class of indecomposable representations.

One possible approach is to study so-called tree modules, which are representations with a particularly nice combinatorial description. They have been studied by Ringel, in "Indecomposable representations of the Kronecker quivers" for generalized Kronecker quivers.

The aim of this project is to understand the concept of tree modules, and Ringel's result for the case of generalized Kronecker quivers. Then it would be interesting to see if similar results hold for other wild quivers.

Having seen quiver representations would be an advantage for this project.

Forskjellige temaer i algebra (Bergh / Oppermann / Smalø / Solberg)

En rekke andre oppgaver i algebra er mulig. Disse vil normalt bygge på et eller flere av kursene MA3201 Ringer og Moduler, MA3202 Galoisteori og MA3203 Ringteori. Ta kontakt med en av de fast ansatte i algebragruppen for nærmere avtale.

Oppgaver innen anvendt algebra

Elliptiske kurver (Gjøsteen)

Når man skal bruke elliptiske kurver i kryptografi må man velge en endelig kropp og en kurve definert over denne kroppen. Oppgaven vil se på hvordan man velger kropper og kurver som er egnet for kryptografi, både med tanke på sikkerhet og effektiv implementasjon.

Nyttige fag er blant annet TMA4160 Kryptografi, MA3201 Ringer og moduler og MA3202 Galoisteori.

Tallkroppsålden (Gjøsteen)

Tallkroppsålden (number field sieve) er den raskeste metoden vi kjenner i dag for å faktorisere store heltall. Tilsvarende metoder kan brukes for å finne diskrete logaritmer i endelige kropper.

I visse kryptografiske angrep kan man få ekstra informasjon som kanskje kan gjøre tallkroppsolden raskere. Oppgaven vil bestå i å sette seg inn i tallkroppsålden og hvordan denne kan gjøres raskere ved hjelp av ekstra informasjon, samt forsøke å tilpasse dette til nye kryptografiske angrep.

Det er nødvendig å ta kursene MA3201 Ringer og moduler og MA3202 Galoisteori. Det er nyttig å ta kurset TMA4160 Kryptografi.

Grøbner-basis og kryptoanalyse (Buan / Solberg)

Første del (høstprosjektet) vil overlappe med Grøbner-basis prosjektet til Solberg. Andre del vil gå ut på å sette seg inn i hvordan Grøbner basis er forsøkt utnyttet til kryptoanalyse.

Referanse: Som for Grøbner-basis prosjektet, samt Neil Koblitz: Algebraic aspects of cryptography, Springer ISBN: 3-540-63446-0

Forutsetninger: MA3201 Ringer og Moduler, MA3202 Galoisteori, TMA4160 Kryptografi. Kurset MA8202 Kommutativ algebra bør tas samtidlig som høstprosjektet.

Anonymitet i kryptografiske protokoller (Gjøsteen)

Mesteparten av dagens digitale infrastruktur, f.eks. for telekommunikasjon og betaling, er konstruert på en slik måte at eieren av infrastrukturen samler opp svært mye informasjon om brukerne av infrastrukturen. Det er mange eksempler på at slik informasjon kommer på avveie eller blir misbrukt, enten av betrodde ansatte eller av eieren av infrastrukturen.

Oppgaven vil dreie seg om å studere hvordan man kan lage kryptografiske protokoller som beskytter brukerne og bedrer personvernet.

Det er nødvendig å ha tatt kurset TMA4160 Kryptografi.

Oppgaver i samarbeid med Inst. for telematikk (Buan / Gjøsteen)

Om noen er interessert i prosjekt/diplom i samarbeid med telematikk, ta gjerne kontakt med Buan eller Gjøsteen.

Forutsetningene for en slik oppgave vil vanligvis være kursene TMA4150 Algebra og Tallteori, TMA4160 Kryptografi og TTM4135 Informasjonssikkerhet (ved ITEM).

Forskjellige temaer i kryptografi (Buan / Gjøsteen)

Det er mange mulige temaer innen matematisk kryptografi. Ta kontakt for nærmere informasjon.

Det vil stort sett være en forutsetning med kurset TMA4160 Kryptografi. TTM4135 Informasjonssikkerhet ved ITEM kan også være nyttig.

Koder basert på algebraisk geometri (Gjøsteen)

Reed-Solomon-koden lager kodeord ved å evaluere polynomer av grad høyst k-1 i n>k punkter. Disse kan generaliseres blant annet til algebraiske kurver, der man evaluerer funksjoner på en kurve i et antall punkter på kurven. Oppgaven består i å studere hvordan koding og dekoding gjøres for disse generaliserte kodene.

Det er nødvendig å ta kurset TMA4185 Kodeteori, og det er en fordel å ta fagene MA3201 Ringer og moduler og MA3202 Galoisteori.

Koder som idealer i grupperinger og andre ringer (Solberg)

Overføring av data og annen digital kommunikasjon bygger ofte på feilkorrigerende koder. Et eksempel er en CD-spiller. Dette prosjektet vil i første omgang ta for seg klassen grupperinger, og se hvordan denne er brukt i forbindelse med feilkorrigerende koder.

Gitt en endelig gruppe G og en kropp k kan vi danne oss grupperingen kG, som er vektorrommet over kroppen k med alle gruppeelementene i G som basis. Multiplikasjonen i kG er gitt ved gruppeoperasjonen i G. Dette prosjektet har som mål å sette seg inn i noe av teorien for grupperinger over en kropp, og forstå hvordan idealer i disse ringene brukes for å realisere kjente koder. Også andre ringer enn grupperinger er blitt brukt for å lage koder. Disse kan utgjøre videre tema for prosjekter/oppgaver.

Referanser:

• Bernhardt, Frank; Landrock, Peter; Manz, Olaf: The extended Golay codes considered as ideals, J. Combin. Theory Ser. A 55 (1990), no. 2, 235--246.
• Landrock, Peter; Manz, Olaf, Classical codes as ideals in group algebras, Des. Codes Cryptogr. 2 (1992), no. 3, 273-285.

Prosjektet forutsetter kursene MA3201 Ringer og Moduler og TMA4185 Kodeteori. Flere studenter kan godt jobbe sammen på et prosjekt.

Forskjellige temaer i kodeteori (Gjøsteen / Smalø / Solberg)

En rekke andre oppgaver innen kodeteori er mulig. Ta kontakt med Gjøsteen, Smalø eller Solberg for detaljer. Det vil normalt være en forutsetning å ta TMA4185 Kodeteori, og det vil være nyttig med MA3201 Ringer og Moduler og MA3202 Galoisteori.