Litt om 75060 Mangfoldigheter.
Vår 2000

$Klein's flaske$ Foreleser: Bjørn Ian Dundas, rom 1248 Sentralbygg II, tlf. 7355 0242
epost: dundas@math.ntnu.no. All mail angående kurset må ha "75060" i subject heading

En liten uformell intro:

Mangfoldigheter er "rom" der vi har løsrevet oss fra tvangstrøyen at "jorden er flat". Dette er lettest å forestille seg i lave dimensjoner, men også det fire-dimensjonale rommet vi lever i krummer. Poenget er bare at det ikke er så lett å se det lokalt.

For å holde oss til dimensjoner vi kan illustrere i det rommet vi lever i, $torus$ $sphere$ $plan$ kan vi se på to-dimensjonale mangfoldigheter, eller "flater". Da har vi selvfølgelig planet, men også andre kandidater som sfæren og torusen, og noen til som vi skal se på snart. For et to-dimensjonalt vesen er dette rom man kan bo i, og har det litt begrenset interesseområde, er det ingen grunn til at vårt to-dimensjonale vesen noensinne skal oppdage at det ikke lever i (det flate) planet.

I to dimensjoner er det faktisk meget begrenset hvor mange "verdener" det finnes: se f.eks. her for en liste og noen fine animasjoner av disse rommene. $En tur paa Mobius' baand$

Dersom du fulgte linken ovenfor, fikk du se et par fenomener. F.eks. er det noen rom som er "orienterbare" (f.eks. flatt rom, sfæren og torusen, hvor det to-dimensjonale dyret kan definere "høyre og "venstre"), og andre som er "ikke-orienterbare" (f.eks. Kleins flaske som det er en tegning av øverst på siden, hvor dyret vårt kan risikere å komme speilvendt tilbake til utgangspunktet). For å få en følelse hvordan det er å bo på en torus eller en Kleins flaske vil jeg anbefale å spille the torus game.

$En flate med to huller som kan embeddes i tre dimensjoner$ En annen ting du kanskje la merke til var at f.eks. Kleins flaske ikke kan tegnes i rommet uten at vi få selvskjæringer. Det er bare fordi rommet vårt er så lite: i fire dimensjoner kommer Kleins flaske til sin rett. Et spørsmål som vil bli besvart i kurset er hvor store flate rom må til for å kunne huse en gitt mangfoldighet. Men det er viktig at vi ikke blander kortene: de store flate rommene har ingenting med mangfoldigheten å gjøre: for vårt to-dimensjonale dyr er flere dimensjoner enn to kun tankespinn som ikke har noe med virkeligheten å gjøre (de forekommer kun i matematikk og teoretisk fysikk). Det er forøvrig en søt gammel bok som heter Flatlands som handler om slike dyr, som kan være morsom å lese.

$To og to henger ringene ikke sammen, men rommet er trangt!$

I "75060 mangfoldigheter" skal vi studere slike fenomener generelt. Selv om de to-dimensjonale tilfellene er de som absolutt er enklest å se for seg, kommer mangfoldigheter i alle dimensjoner. Faktisk er det slik at mange problemer løser seg opp nå bare dimensjonen blir høy nok! For mange matematiske og fysiske problemer er tre og firedimensjonale rom rett og slett for trange. $Her vrenges en sfære, går det an?$

Fra en praktisk synsvinkel påtvinges mangfoldigheter oss gjennom nært sagt alle fysiske fenomener, fra de mest hverdagslige til det kosmiske. F.eks. er løsningsrom ofte mangfoldigheter. Ofte er det slik at alt relevant foregår på en mangfoldighet, mens det flate rommet bare er en distraksjon. Jeg kan nevne at paa instituttet har vi en numerikkgruppe som er aktiv mhp. løsninger av differensialligninger hvor man samtidig husker paa at man ikke skal bevege seg vekk fra mangfoldigheten (klassiske metoder ignorerer ofte dette - og dermed fysikken i det hele: dersom du er interessert i hvordan planetene beveger seg, er det komplett uinteressant med tilnærminger hvor planetene beveger seg ut av universet).

For en mer nøyaktig (men kjedelig) diskusjon av mangfoldigheter, kan du slå opp på differential topology.

Kurset 75060 er første steget på et studium i topologi (se f.eks. her for en uformell intro knyttet opp mot mangfoldigheter eller her), men vil fungere som et støttefag for mange andre studier. Det naturlige påfølgningskurset er "algebraisk topologi" som sikker får nytt nummer før noen får tatt det neste gang. Ta kontakt om du er interessert. Noen eksempler og videre utdypning.

Litteratur

Th. Brocker and K. Janich: Introduction to differential topology. Dette blir læreboken. En kompakt bok, som det er lett å få oversikten over. Ulempen er at den er stundom knapp, men det kan vi kompensere i selve kurset. Den er desværre utsolgt fra forlaget, men vi har fått tillatelse til å kopiere opp for dere (mot betaling). Litt tøff åpning, men begynnelsen av kurset skal jeg hente annensteds fra, evt. lave selv.
John W. Milnor: Topology from the differential viewpoint. En liten perle. Bruker nesten ingenting, og får masse fine resultater. Eneste problem er at den ikke bygger opp hådtverket.
M. W. Hirsch: Differential topology Velskrevet, og andrevalg som lærebok. Var redd den var litt for vanskelig.
M. Spivak: Calculus on manifolds. Dekker "spranget" mellom flervariabel-analyse, og analyse på mangfoldigheter.
M. Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry dekker det meste, men er ikke "to the point" nok for oss (det tar fem bind, men så nå han innom mye).
A. A. Kosinski Differential manifolds Hadde dette vært et større kurs ville jeg ha forsøkt denne boken. Den kan fungere som en referanse om man fortsetter innen emnet.
The Geometry Center har mye bra bakgrunnsmateriale, se spesielt Geometry and the Imagination.
Jeff Weeks: The Shape of Space Jeg har ikke lest boken, men jeg har sett litt på det on-line materialet som finnes. Ta en titt selv.