Veileder: Bjørn Ian Dundas
Rom: 1248-SII
e-mail: dundas@math.ntnu.no
http://www.math.ntnu.no/~dundas/indexeng.html
Denne siden har URL http://www.math.ntnu.no/~dundas/P300.html.
En måte å finne ut noe om hvilken verden vi lever i er å legge ut et ``rutenett''. Da kan vi telle antall punkter P i dette rutenettet, antall kanter K , og antall flater F (vi er stadig i to dimensjoner, så vi stopper her). Skulle våre flate venner bo i et rom som form av en sfære vil de finne ut at uansett hvor kreativt de legger ut rutenettet så får de alltid at
P-K+F=2
Bor de derimot på en torus får deP-K+F=0
Dette tallet kalles Euler-tallet, og er nyttig for å skille rom fra hverandre. Men torusen er ikke det eneste rommet med Eulertall 0, så vi kan ikke være trygg.
Faktisk: en dag en Flatlander gikk seg bort,
kom han tilbake speilvendt! For å utforske rommet begynte nå
Flatlanderene å dra på lange ekspedisjoner, og for å være
sikker på å finne hjem lot de igjen hyssing efter seg. Dette var
dessuten en måte å sjekke om de hadde gått rundt et ``hull''
(slik som du kan på torusen): kom de tilbake til utgangspunktet, tok tak i
begge ender av snoren
og klarte å dra inn hele kveilen uten å slippe noen av endene, kunne
de ikke ha gått rundt et hull, og turen ble sosialt ansett som
``triviell''.
En dag en Flatlander kom hjem speilvendt forsøkte han følgende: Først prøvde han å trekke inn hyssingen, men klarte det ikke. Derefter fulgte han hyssingen sin rundt verdensrommet én gang til, og fortsatte å legge ut hyssing. Da han kom hjem igjen var han ikke lenger speilvendt. Han tok så tak i begge endene av hyssingen (som nå gikk to ganger rundt verdensrommet) og drog inn hele kveilen uten å slippe noen av endene. Hvordan kan slikt være mulig?
Prosjektet går ut på å studere flater og deres klassifisering. Viktig ingrediens er å få samlet nok eksempler for å kunne gi en fascinerende introduksjon til emnet.
Prosjektet passer for 2-4 studenter, og kan brukes som et forstudium for videre studier i topologi og geometri.
Litteratur (alle on-line):
Det er velkjent at de komplekse tall C, foruten å være et todimensjonalt reelt vektorrom, også har en multiplikativ struktur som er distributiv over addisjon og slik at om produktet av to tall er null, så må ett av dem være null. Slikt hender ikke i dimensjon tre, men i dimensjon fire har vi de såkalte kvaternionene som har samme egenskap. Kvaternionene er nært knyttet opp mot ``kryssproduktet'' i kjent fra romgeometri. Faktisk finnes der kun slike strukturer i dimensjon én, to, fire og åtte.
Problemet er å forstå hvorfor det ikke kan være noen slike strukturer i andre dimensjoner, hvorfor de finnes i de nevnte dimensjonene, og hvilke konsekvenser dette har.
Referanser:
Prosjektet kan egne seg for 1-2 studenter.
Skjæringssetningen, konvergens av begrensede monotone reelle følger o.s.v. -- alt sammen er en konsekvens av at de reelle tall er ``komplette''. Vi vil studere dette nøyere, og finne at slike fenomener også opptrer i sammenhenger som må katalogiseres under ``diskret matematikk''.
Gitt et begrep om ``absoluttverdi'' på de rasjonale tall, gir Cantor oss en metode for å ``fylle igjen alle huller'' -- å ``komplettere'' -- eller med andre ord: utvide til en mengde der alle følger som burde konvergere virkelig gjør det.
Det fascinerende er her at der er kun få absoluttverdier på de rasjonale tall: foruten en degenerert absoluttverdi er der den vanlige pluss en ``eksotisk'' for hvert primtall p! Om vi kompletterer m.h.p. den vanlige får vi de reelle tall, men eksotiske absoluttverdiene gir opphav til de ``p-adiske tall'' som er viktig innenfor bl.a. tallteori.
Oppgaven vil gå ut på å studere konstruksjonen og en del enklere egenskaper ved de p-adiske tall.
Referanser: referansesøk vil være en viktig del av prosjektet. De under kan være en start.
Prosjektet kan egne seg for 2-3 studenter.