|
|
|
Sammendrag: Helt konkret: studere en ``ny'' oppdelingsteknikk.
Nytteverdi: Oppdelinger er avgjørende når man skal beskrive eller tilnærme kontinuerlige fenomener diskret. Eksempler er all form for databehandling, numerisk integrasjon, komputer stø ttet geometrisk design, og kombinatorisk topologi.
Beskrivelse: Når man skal beskrive et kontinuerlig fenomen v.hj.a. diskrete metoder, er man avhengig av å kunne dele opp området i små biter. Det finnes mange måter å gjøre dette på, og de har hver sine fordeler og ulemper. Spesielt krevende er dette om du ønsker å behandle fenomener som krummer seg, er av høy dimensjon og kanskje innehar symmetri av ett eller annet slag.
For noen år tilbake dukket det opp en ``subdivisjons''teknikk
innen et renmatematisk felt som jeg har vært engasjert i. Denne teknikken kalles ``kantvis oppdeling''
(edgewise subdivision) og har mange gode egenskaper som ikke finnes hos
andre oppdelingsteknikker. Den tar utgangspunkt i (høyere
dimensjonale) ``trekanter'', og deler disse opp i mindre ``trekanter''
som alle har gode egenskaper. På figuren til høyre ser du en
``3-oppdeling'' i dimensjon 2. I dimensjon 2 er oppdelingen
svært gammel, men det er først helt nylig at man har forstå
tt den underliggende kombinatorikken, slik at alle dimensjoner er
like enkle.
Gitt et legeme som kan deles opp i
trekanter er kantvis oppdeling en kombinatorisk svært ryddig
teknikk, hvilket gjør den egnet for
komputer implementasjoner.
Samtidig har den en rekke gode geometriske egenskaper. Den mest
spennende egenskapen, og som jeg forventer meg kan ha stort
anvendelsespotensiale, er at om legemet du startet med har en
``sirkel symmetri'', så vil edgewise subdivision respektere denne
symmetrien. Faktisk er det tilfeller der en slik oppdelign gjør den
kombinatoriske kodingen svært meget enklere.
Saken er imidlertid, at teknikken ennå ikke er utforsket skikkelig, og jeg hadde gjerne sett at dette ble gjort. Hittil er den kun brukt i Computer Aided Geometric Design, men jeg regner med at symmetriegenskapen bør kunne spille en viktig rolle også i mer beregningsorienterte sammenhenger.
Samarbeid Det vil være rimelig å konferere tett med instituttets numerikkgruppe med tanke på anvendelser.
Referanser
Edelsbrunner, H.; Grayson, D. R. Edgewise subdivision of a simplex. ACM Symposium on Computational Geometry
(Miami, FL, 1999). Discrete Comput. Geom. 24 (2000), no. 4, 707-719
|
 |
 |
 |
