Ukens nøtt

Ukens nøtt er en litt anderledes (av og til vanskeligere, av og til bare anderledes) oppgave enn de jeg våger/ønsker å gi ellers.
Om du er blant dem som kan fremvise "riktig" løsning innen en uke er du automatisk med i trekningen av en fin fet gulrot.

Uke 43

Påstanden

Alle positive hele tall kan entydig beskrives med mindre enn nitten ord hentet fra riksmålsordboken

er opplagt gal (det er bare endelig mange ord i riksmålsordboken). Hva er så feilen i følgende "bevis"? (feilen er forholdsvis subtil, og av logisk karakter)

Anta at der virkelig finnes positive hele tall som ikke kan entydig beskrives med mindre enn nitten ord hentet fra riksmålsordboken.
Da må det finnes et minste tall av denne typen, kall det n.
Men da er n "Det minste positive hele tall som ikke kan entydig beskrives med mindre enn nitten ord hentet fra riksmålsordboken
Men dette er en entydig beskrives av n med mindre enn nitten ord hentet fra riksmålsordboken, hvilket motsier at n ikke skulle ha en slik beskrivelse!
Siden antagelsen i (1) om eksistensen av positive hele tall som ikke kan entydig beskrives med mindre enn nitten ord hentet fra riksmålsordboken ledet til en selvmotsigelse, må dette være en feil antagelse.

Uke 42

Du er ute på fottur. Under en rast drikker du opp en tredjedel av teen du hadde på termosen. Du vet at du vil trenge full termos ved neste rast og beslutter deg for å spe på med vann av samme temperatur som omgivelsene.

Spørsmål: hvilket av de to alternativene under gir varmest vann neste gang du raster?

Alternativ i): Du fyller på termosen med én gang (vi antar dette tar ubetydelig tid) med kaldt vann.
Alternativ ii): Du bestemmer deg for å vente med å fylle på termosen til du neste rast.

Hint: Still opp differensialligningen som styrer temperaturen i den lukkede termosen og løs den for vilkårlig initialverdi. Det følgende er ikke urimelige antagelser:
Temperaturen i en lukket termos kan beskrives ved at avkjølingsraten er proposjonal med differansen mellom temperaturen i termosen og utetemperaturen.
Om du fyller den siste tredjedelen i termosen med vann med utetemperatur T_u vil temperaturen synke fra T til (2T+T_u)/3.

Uke 41

I en fotballturnering deltar 17 lag. Alle lagene spiller én kamp mot hvert av de andre lagene, og ingen kamp ender uavgjort.

Vis at det er mulig å nummerere lagene slik at i deres innbyrdes oppgjør slo lag nummer 1 lag nummer 2, lag nummer 2 slo lag nummer 3, .... , lag nummer 16 slo lag nummer 17.
Kan det hende at laget som ender sist på denne listen likevel får flest poeng?

Ingen løsningsforslag mottatt, så gulroten henger fortsatt!

Uke 40

I forrige uke var jeg vekke, så det ble ikke noen ny nøtt da. Men her er vi tilbake igjen, denne gangen med en klassiker. Den sies å stamme fra Leonhard Euler selv. Nøtten er et særs tidlig eksempel på nettverkstopologi (BID er topolog, og synes derfor godt om dette, samtidig som nettverk ikke er helt fremmed for klassens fremtidige sysler, eller?).
Sentrum i Königsberg lå på en øy i en elv som rant gjennom byen. Efter at elven hadde passert øyen delte den seg i to. Syv broer var bygget slik at folk kunne komme fra den ene delen av byen til den andre. Under ser dere en grov skisse som viser dette: $broer$ Folk lurte på om man kunne spasere en rundtur slik at man passerte hver bro nøyaktig én gang. Kan man det? (uten å svømme over elver, eller annet kreativt som ikke sømmer seg for en dame på spasertur i 1735).

En løsning på nøtten uke 40

Uke 38

Tre ektepar er på tur. De kommer til en elv som de bare kan krysse ved å bruke en liten båt som ikke tar mer enn to personer. Problemet er at alle ektemennene er så sjalu at ikke vil la sin kone være i selskap med andre menn uten at de selv er til stede. Er det likevel mulig for alle å krysse elven?(TL)

En løsning på nøtten uke 38

Uke 37

Ingen nøtt denne uken: ingen klarte å løse forrige ukes oppgave! Hvis ikke jeg får noe nå snart gir jeg nøtt 36 til fysikk/matematikklassen (pinlig!) For de som syntes den var for lett til å bry seg med, så utloves det gulrot på metanøtten "hva er det bestemte integralet av D(x) fra 0 til 1?"

Uke 36

En ordentlig orthonøtt denne gangen:
De rasjonale tall er de reelle tall som kan skrives på formen p/q der p og q er hele tall. Vi kan alltid passe på at q>0 og at p og q er uten felles faktorer (f.eks. kan vi skrive 2/6 som 1/3).

Dirichlets funksjon D er definert på intevallet [0,1] som følger:
Om x ikke er rasjonal er

D(x)=0,

og om x=p/q er rasjonal og p og q er uten felles faktorer, så er

D(x)=1/q

Spørsmål: Hva er

lim_x->1/2 D(x)?

lim_x->1/e D(x)?

En løsning på nøtten uke 36

[Ekstra metanøtt: Hvor er D kontinuerlig?
Hvor er D deriverbar?]

Uke 35

Figuren nedenfor viser sporet etter en sykkel. I hvilken retning kjørte den?
(Selve figuren er ikke så viktig - metoden du kommer frem til bør virke på de fleste sykkelspor).

$sykkelspor$

Ang. innsendte løninger
Jeg har fått inn en hel del løsninger, men de fleste har det felles at de bruker at vi kan se endepunktene. Jeg har godtatt dette, da endepunktene jo virkelig er synlige på figuren.
Men dette er jo ikke helt realistisk: vanligvis er et sykkelspor tilsynelatende uten ender.

Metanøtt: Kan du løse oppgaven uten å bruke endepunktene?

Vi utsetter å gi et offisielt løsningforslag til dere har fått tenkt litt på denne. Kåringen av ukens gulrot skjer på forelesningen på Onsdag i uke 36.

Forøvrig er det en bok som har tittelen Which Way Did the Bicycle Go?.

En løsning på nøtten uke 35: En animasjon som viser sykkelens gang, og forklarer hvorfor den går nettopp fra venstre mot høyre..

Det er blitt påpekt at hvis du er VELDIG stor og låser hjulene, så kan et meget utspekulert fall på glattisen gi et slikt spor mens sykkelen glir mot venstre.

Bjørn Ian Dundas <dundas@math.ntnu.no>

Last modified: Mon Oct 23 10:51:02 MET DST 2000