En rask titt på pensum
SIF 5003 MATEMATIKK 1
Høst 2000

For å hjelpe til å komme i gang ser vi raskt over pensum. Merk at jeg er ferdig med kapittel 2 allerede første uken. Det betyr at det skal en betydelig arbeidsinnsats på begynnelsen for å komme på forskudd med lesingen (hvilket er nødvendig for å få fullt utbytte av forelesningene).

Det er allikevel ikke så ille som det høres ut: f.eks. er hele kap. 1 gammelt nytt. Ikke selg dine gamle bøker fra videregående skole, men bruk dem til støtte og oppfriskning. Du vil få bruk for alt du lærte av dem. Du kan teste dine ferdigheter f.eks. ved å kjøre repetisjonskurset for matteknekker'n.

Målet med kurset er at dere skal kunne anvende "kalkulus" i enkle modeller. Ferdighetsnivået skal være høyt nok til at symbolmanipulasjon efterhvert kommer i bakgrunnen, slik at du kan konsentrere deg om modellenes egenskaper (både matematisk og i forhold til den virkeligheten du øsker å beskrive). For å kunne bruke verktøyet effektivt er det også viktig å forstå begrensningene og forutsetningene som ligger til grunn. Dette vil også tjene en annen hensikt idet din evne til å tenke logisk vil bli satt på stadig prøve!

Hilsen

Bjørn Ian Dundas <dundas@math.ntnu.no>

PS. Linkene på denne siden skal ikke taes for alvorlig, jeg går ikke god for kvaliteten på alt.

Innhold: Edwards og Penney (EP), Calculus (fifth ed.)

Boken er stor og tykk, og kan virke skremmende. Du vil snart merke at det ikke står like mye på hver side, og det krever litt omtanke å ha et fornuftig studie basert på den. EP er fin idet det er mange og gode eksempler og oppgaver, så er det noe du synes er vanskelig å begripe, er der alltid mye å hente.

Merk at efter hvert kapittel er det noe som heter "Review: Definitions, Concepts, Results". Bruk dette som et aktivt hjelpemiddel!

I tillegg til EP kommer et notat om induksjonsprinsippet (se også Mathematical Induction).

Kapittel 1. Funksjoner og grafer

Kikk på overskriftene og bla raskt igjennom. Er det noe du lurer på bør du lese nøyere (husker du hva komposisjon av to funksjoner var for noe?). Hovedsakelig repetisjon. For en advarsel om kalkulatorens farer se 1.4, og for et motiverende lite fremblikk, se 1.5.
(du kan kikke på Notes on functions om du har behov for litt notasjon og på dette for trigonometri)

Kapittel 2. Forspill til Kalkulus

Efter en åpning om tangenter og lignende (som fungerer som motivasjon) går vi løs på grenser og kontinuitet. Her skal dere konsentrere dere! En intuitiv forståelse er IKKE nok. Her må man kunne bruke definisjonene.

Forstå grensesetningene, og bruk dem fornuftig (også skvise-loven).
Hva betyr det at en funksjon er kontinuerlig? og hvorfor er det det samme som "sammenhengende" (skjæringssetningen).

Kapittel 3. Den deriverte

Mer rigorøst enn i videregående skole, men temaet er behandlet før! Må beherske

derivasjonsbegrepet og standard regler (også kjerneregelen).
Kontinuerlige funksjoner har alltid max og min pkter på lukkede intervaller.
Implisitt derivasjon og relaterte rater
Newton's metode

Kapittel 4. Anvendelser av den deriverte

Kurvedrøfting med vendepunkter og asymptoter vil vi anta at dere fikser på egenhånd (mye repetisjon). Ser derimot litt nøyere påbegreper som lineær approksimasjon/tangenten (på forelesning vil jeg prøve å rydde litt her). Teoretisk viktig resultat: sekantsetningen (vær forsiktig med alt som er "opplagt").

Kapittel 5. Integralet

Hva er det egentlig?

Definisjon, Riemann summer
(standard regneregler, substitusjon)
Fundamentalteoremet
Trapés og Simpson's metode

Kapittel 6. Anvendelser av integralet

Her vil vi bruke en hel del tid på trene på sette opp et integral på grunnlag av en modell. Det er et tett samspill mellom definisjonen (Riemann summer) av integralet og modellering av virkeligheten, mens utregningen av integralet stort sett foregår gjennom fundamentalteoremet (antiderivasjon). Av eksempler har vi

Beregning av volum ved skive metoden og sylinderskall metoden
Buelengde og overflate av omdreiningslegeme
Separable differensialligninger.

Det siste er uhyre viktig i alle anvendelser, og vil få større plass i kurset enn sideantallet skulle tilsi. Noen flere eksempler finner dere i kapittel 7.

Kapittel 7. Noen funksjoner

Stort sett repetisjon og selvstudium. Det eneste vanskelige og nye er "inverse funksjoner".

Kapittel 8. Et oppsamlingskapittel

som behandler

Inverse trigonometriske og hyperbolske funksjoner
L'Hôpitals regel og slikt (for å regne ut grenser).
hyperbolske funksjoner

Kapittel 9. Integrasjonsteknikker

Her er det viktigste at dere forstå hva dere gjør, og hvilke begrensninger metodene har.

Du skal kunne omforme til et integral som er i tabell v.hj.a. enkle metoder som
(viser derved at alle rasjonale funksjoner er integrerbare).
Uegentlige integraler.

Kapittel 10. Polare koordinater og plane kurver

Ikke overlapp med videregående skole.

Av og til er rettvinklet aksekors helt på jordet og vi må se på tingene på en annen måte (f.eks. er Mercator-projeksjonen ganske ubrukelig på Nordpolen).
Kjører du fra Støren til Steinkjær er klokken og turtelleren de mest opplagte instrumenter for å bestemme hvor du er. Hva er sammenhengen mellom dette målet og annen posisjonsbestemmelse?

Kapittel 11. Uendelige rekker

Selv om du har vært borti aritmetiske og geometriske rekker tidligere, består dette kapittelet stort sett av nytt stoff. Tradisjonelt faller dette stoffet ganske vanskelig av minst tre grunner:

(i) Problemstillingene er nye og uvante
(ii) Stoffet kommer helt på slutten av pensum og får liten modningstid
(iii) Siden det ikke blir tid til å se på så mange anvendelser, er det ofte vanskelig å forstå hensikten med teorien.

Rekker av forskjellige typer er imidlertid viktige i mange fag (spesielt fysikk, matematitikk og informatikk men også biologi, ølonomi...), og får du først taket på dem, er de ikke så vanskelige å arbeide med. Mye av det som står til å begynne med, kan se selvfølgelig ut. Les det allikevel nøye - det legger grunnlaget for alt som kommer senere.

Følger
Konvergens av begrensede monotone følger
Konvergens av rekker:
Taylor's formel (restledd), Taylorrekken
Potensrekker (og behandling av disse)

NTNU, 15. august 2000
Bjørn Ian Dundas