Eksempel 1, side 364 (brukt som illustrasjon på hvordan man kan beregne integraler ved summer.) Ved tidpunkt t (i sekunder) pumpes vann inn med en rate

50 - t

(liter pr sekund). Hvor mye vann renner ut de første 30 sekundene?

V'(t)=50-t

Del opp intervallet [0,30] i en masse småintervaller [t_i-1,t_i], $i=0,\dots n$. La $\Delta t_i=t_i-t_{i-1}$, og la

$$\Delta V_i=\text{vol. vann som renner inn mellom $t=t_{i-1}$ og $t=t_i$}$$

Tegn en tegning (V'(t) er avtagende), og overbevis deg om at

$$V'(t_{i-1})\Delta t_i\geq \Delta V_i\geq V'(t_{i})\Delta t_i$$

Det totale volumet er summen av alle småvolumene:

$$V^{Tot}=\sum_{i=1}^n\Delta V_i$$

så

$$\sum_{i=1}^nV'(t_{i-1})\Delta t_i\geq V^{Tot}\geq \sum_{i=1}^nV'(t_{i})\Delta t_i$$

For letthets skyld vil jeg dele [0,30] opp i n like intervaller. Da er

$$\Delta t=\frac{30-0}{n}=\frac{30}{n}$$

og

$$t_i=0+i\cdot\Delta t_i=\frac{30i}{n}$$

så vi får at

$$\sum_{i=1}^nV'(\frac{30(i-1)}{n})\frac{30}{n}\geq V^{Tot}\geq \sum_{i=1}^nV'(\frac{30i}{n})\frac{30}{n}$$

eller

$$\sum_{i=1}^n(50-\frac{30(i-1)}{n})\frac{30}{n}\geq V^{Tot}\geq \sum_{i=1}^n(50-\frac{30i}{n})\frac{30}{n}$$

Vi har at

$$\sum_{i=1}^n(50-\frac{30i}{n})\frac{30}{n}= \frac{30}{n}\left(\sum_{i=1}^n50-\sum_{i=1}^n\frac{30i}{n}\right)$$

og

$$\sum_{i=1}^n50=50+50+\dots+50=50n$$

mens

$$\sum_{i=1}^n\frac{30i}{n}=\frac{30}{n}\sum_{i=1}^ni=\frac{30}{n}\frac{n(n+1)}{2}=15(n+1)$$

så

$$\sum_{i=1}^n(50-\frac{30i}{n})\frac{30}{n}=\frac{30}{n}\left(50n-15(n+1)\right)=1050-\frac{450}{n}$$

Et lignenede resonnement gir at summen til venstre blir $1050+\frac{450}{n}$, så vi får

$$1050+\frac{450}{n}\geq V^{Tot}\geq 1050-\frac{450}{n}$$

Når n går mot uendelig vil både den øvre og nedre begrensningen for V^Tot gå mot 1050, og ved skviseloven må V^Tot=1050.