Ikke-standard analyse og matematisk finans
noen referanser til Tom Lindstrøms forelesninger

Ikke-standard analyse ble oppfunnet av Abraham Robinson for ganske nøyaktig 40 år siden. Hans egen oppsummering av teorien finnes i boken
  • Abraham Robinson: Non-standard analysis, North-Holland, 1966
    Den reviderte annenutgaven fra 1974 er nylig gjenutgitt i paperback av Princeton University Press i serien Princeton Landmarks in Mathematics. Jeg vil ikke anbefale Robinsons bok som en første innføring (til det er formalismen i kapittel 2 for tung), men har man først lært grunntrekkene i ikke-standard analyse, er dette fortsatt en interessant bok å kikke i. Hovedproblemet ved å lære bort ikke-standard analyse er at en del grunnleggende resultater krever en viss kjennskap til logisk formalisme, men at denne formalismen ikke spiller noen sentral rolle i den videre utviklingen av teorien. Problemet er altså å gi folk en passe tilmålt dose av denne logiske formalismen. Nå ville man kanskje ikke tro at en overdose ville være så farlig i dette tilfellet, men erfaringen viser at mange matematikere har en svært lav toleranse for logiske kjemikalier. En måte å unngå for mye logikk på, er å basere fremstillingen på ultraprodukt-konstruksjoner slike jeg gjorde på Oppdal. Denne ideen ble først brukt av W.A.J. Luxemburg i 1962. Den mest systematiske utpenslingen finnes i
  • Tom Lindstrøm: An invitation to nonstandard analysis, i Nonstandard Analysis and its Applications (N.J. Cutland, red.), Cambridge University Press, 1988, 1-105.
    En kortversjon som dekker mye av det jeg sa på Oppdal, er
  • Tom Lindstrøm: Uendelig små og store tall - og litt om hva de kan brukes til, NORMAT 44 (1996), 71-91
    Min erfaring med dette opplegget er at det fungerer meget bra en stund, men at det er en viss fare for at folk setter seg fast i ultraproduktkonstruksjonen og aldri greier å frigjøre seg. =46or noen år siden introduserte Ward Henson en annen "logikkfattig" måte å nærme seg ikke-standard analyse på. Se
  • C. Ward Henson: Foundations of nonstandard analysis. A gentle introduction to nonstandard extensions, i Nonstandard Analysis - Theory and Applications, (L.O. Arkeryd et al., red.), Kluwer. 1997, 1-50
    Mer tradisjonelle inføringer i ikke-standard analyse finnes det mange av. En grundig introduksjon uten nonsens og dikkedarer er
  • Dieter Landers og Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis, Springer, 1994, 485 sider
    selv om den kanskje er så grundig og systematisk at den passer bedre for studenter enn for modne matematikere. En annen "moderne innføring" er
  • Robert Goldblatt: Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis, Springer, 1998, 289 sider
    som imidlertid ikke går så langt som boken til Landers og Rogge. De to konferansevolumene jeg allerede har nevnt
  • Nonstandard Analysis and its Applications (N.J. Cutland, red.), Cambridge University Press, 1988.
  • Nonstandard Analysis - Theory and Applications, (L.O. Arkeryd et al., red.), Kluwer. 1997
    er basert på inviterte foredrag på sommerskoler og gir også systematiske innføringer i ikke-standard analyse. Ikke-standard sannsynlighetsteori begynner for alvor med R.M. Andersons konstruksjon av Brownsk bevegelse som standarddelen til en virrevandring.
  • R.M. Anderson: A nonstandard representation for Brownian motion and It=F4 integration, Israel J. Math. 25 (1976), 15-46
    Potensialet til denne teorien ble for alvor klart gjennom
  • H.J. Keisler: An infinitesimal approach to stochastic analysis, Mem. Amer. Math. Soc. 297 (1984).
    Den mest omfattende oppsummeringen av ikke-standard bidrag til stokastisk analyse er fortsatt
  • S. Albeverio. J.E. Fenstad, R. Høegh-Krohn. T. Lindstrøm: Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics, Academic Press, 1986,
    Denne boken inneholder forøvrig også en innføring i ikke-standard analyse, men er kanskje litt mer kortfattet og rett-på-sak enn innføringene ovenfor. En kortere (og litt oppdatert) innføring er
  • Tom Lindstrøm: Internal martingales and stochastic integration, i Nonstandard Analysis - Theory and Applications, (L.O. Arkeryd et al., red.), Kluwer, 1997, 209-258.
    I denne artikkelen finnes forøvrig den ikke-standard konstruksjonen av lokal tid for Brownske bevegelser, en konstruksjon som først ble gjort i
  • E. A. Perkins: A global intrinsic characterization of local time, Ann. Prob. 9 (1981), 801-817.
    Moderne finansteori ble grunnlagt av Black og Scholes i
  • Black og M. Scholes: The pricing of options and corporate liabilities, J. Polit. Econom. 81 (1973), 637-654.
    En diskret (binomisk) versjon finnes i
  • J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein: Option Pricing - a simplified approach, J. Financial Econom. 7 (1979), 229-63
    Ideen om ekvivalente martingalmål kommer så vidt jeg vet fra
  • J.M. Harrison og D.M Kreps: Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. J. Econom. Theory 20 (1979), 381-408
  • J.M. Harrison og S.R. Pliska: Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading, Stochastic Process. Appl. 11 (1981), (215-260)
    Den første ikke-standard artikkelen om finans er
  • N.J. Cutland, P.E. Kopp, W. Willinger: A nonstandard approach to option pricing, Math. Finance 1 (1991), 1-38.
    En oversiktsartikkel med ytterligere referanser er
  • P.E. Kopp: Hyperfinite Mathematical Finance i Nonstandard Analysis - Theory and Applications, (L.O. Arkeryd et al., red.), Kluwer, 1997, 279-307.
    Et kapittel om ikke-standard finans finnes også i
  • N.J. Cutland: Loeb Measures in Practice: Recent Advances, Springer, 2000/2001
    (jeg vet ikke om denne er kommet ut, eller om den er rett trundt hjørnet!) Markedet oversvømmer for tiden av bøker om (standard) matematisk finans. Den mest omfattende og ambisiøse er
  • I.Karatzas og S.E. Shreve: Methods of Mathematical Finance, Springer, 1998
    men den krever mye forkunnskap om stokastisk analyse og er definitivt ikke for "the faint of heart". Blant de innføringene som ikke krever forkunnskaper, liker jeg godt
  • N.H Bingham og R. Kiesel: Risk-Neutral Valuation. Pricing and Hedging of Financial Derivatives, Springer, 1998
    og (litt mer rett på sak)
  • R.J: Elliott og P.E. Kopp: Mathematics of Financial Markets, Springer, 1998.
    La meg til slutt si noen ord om hva slags forskningsresultater som er oppnådd ved hjelp av ikke-standard analyse. Det første resultatet som ga litt gjenlyd, var Bernstein og Robinsons løsning av det invariante underromsproblemet for polynomielt kompakte operatorer på Hilbert rom (se Robinsons bok). Siden er det mange andre eksempler å peke på, spesielt innenfor funksjonalanalyse (Banach-rom teori), sannsynlighetsteori, perturbasjoner av dynamiske systemer og kinetisk gassteori (Boltzmann-ligningen og beslektede ligninger). Mye av dette stoffet er behandlet i boken av Albeverio et al. og i de to samlebindene nevnt ovenfor:
  • Nonstandard Analysis and its Applications (N.J. Cutland, red.), Cambridge University Press, 1988.
  • Nonstandard Analysis - Theory and Applications, (L.O. Arkeryd et al., red.), Kluwer, 1997.
    De mest imponerende resultatene de siste årene finner vi nok likevel innenfor fluid mekanikk (studiet av Navier-Stokes og Euler-ligningen), se
  • M. Capinski og N.J. Cutland: Nonstandard Methods for Stochastic Fluid Mechanics, World Scientific, 1995
    For en kortere og oppdatert fremstilling kan man også se i Cutlands Loeb Measures in Practice: Recent Advances (se ovenfor).
    Last modified: Mon Jan 8 15:07:22 MET 2001