Perfekte grupper og eksotiske sfærer

Bjørn Ian Dundas

Mest om perfekte grupper, og så kanskje noen eksotiske sfærer
  • slidene jeg brukte.

    Abstract:

    Nå som abeljubileet er vel overstått er det på tide å se videre forbi abelske grupper. Gitt en gruppe G, kan vi definere (den første) homologigruppen H1(G). H1(G) måler hvor langt G er fra å være abelsk. Om G er abelsk er G=H1(G). Det "verst tenkelige" tilfellet er at H1(G) er den trivielle gruppen. Kan disse gruppene være interessante? Svaret er et rungende ja! Disse gruppene er svært viktige, og faktisk så vakre at de kalles "perfekte grupper".

    Jeg vil forsøke å diskutere hvordan perfekte grupper dukker opp i forskjellige deler av matematikken. Spesielt vil jeg diskutere perfekte grupper som kommer fra lineær-algebra og geometri.

    I lineæralgebra har du støtt på mange perfekte grupper, kanskje uten å vite om det. Et eksempel er gruppen SL5R av 5 ganger 5 reelle matriser med determinant 1. Et endelig eksempel er gruppen A5 (med 60 elementer) av alle 5 ganger 5 permutasjonsmatriser med determinant 1 (mange har vært borti denne gruppen da de skulle vise at vi ikke kunne løse femtegradsligningen med passer og linjal...).

    Det er en intim kobling mellom geometri og grupper. Faktisk, når man skal beregne homologien til en gruppe, kan man gjøre det ved å gjøre gruppen om til et rom. Jeg skal forklare hvordan dette "klassifiserende rommet" kan laves litt nøyere i Januar. (Gruppen dukker opp som fundamentalgruppen til rommet.

    På en annen side dukker mange grupper opp av rent geometriske problemstillinger. For eksempel har vi gruppen SO(3) av alle rotasjoner av rommet. Gruppen A5 kan legges inn i SO(3) som alle rotasjoner som bevarer det regulære ikosaederet.

    Rett ved A5 finnes perlen av alle grupper: den bineære ikosaeder gruppen SP5. Det er en viktig dobbelt overdekning av SO(3) ved S3 (enhetskvaternionene), og den binære ikosaedergruppen er undergruppen (av orden 120) av S3 som ligger over A5.

    En annen måte å beskrivelse av den binære ikosaedergruppen er som gruppen SL2(F5) av alle 2 ganger 2 matriser i modulo 5 regning med determinant 1.

    Denne gruppen veltet Poincares oprinnelige formodning om at alle 3-mangfoldigheter med samme homologi som S3 var homeomorfe med S3. For dersom du lar den binære ikosaedergruppen virke på S3 får du en mangfoldighet - kalt Poincare sfæren - med homologi som S3, men som er full av underlige hull. En annen måte å lave Poincare sfæren er å ta et fylt regulært dodekaeder og identifisere motstående sideflater på den opplagte måte.

    Dimensjon 3 er uhyre komplisert og derfor ekstra interessant, og det som nå går under navnet Poincares formodning er løst i alle dimensjoner bortsett fra akkurat i denne dimensjonen.

    Men fellesskapet mellom perfekte grupper og høyere dimensjonelle sfærer fortsetter mer intimt enn noensinne. F.eks. gitt en (super!)-perfekt gruppe G, så bestemmer mengden av homologi n-sfærer med fundamentalgruppe G både gruppen av av glatte strukturer på standard n-sfæren (eksotiske sfærer), og en annen spennende gruppe svært nært knyttet til noe som heter algebraisk K-teori.

    En morsom artikkel som har et ikke-tomt snitt med hva jeg tenker å snakke om er The Story of the 120-Cell av john Stillwell i Notices of the AMS.