Prosjekt og diplomoppgaver tilbudt av Espen R Jakobsen

Prosjekt-, diplom- og masteroppgaver tilbudt av Espen R. Jakobsen

Mitt fagområde er partielle differensiallikninger - matematisk teori og numeriske beregninger. Dette er et meget stort og aktivt fagfelt med mange viktige og velkjente anvedelser. Nedenfor finner dere en liste over oppgaver jeg kan tilby i år, med lenke til mer utførlig beskrivelse av det faglige innholdet.

Oppgavene kan utformes med ulik vanskelighetsgrad og jeg kan også tilby andre oppgaver. Hvis det er noe du har lyst til å spørre om eller diskutere nærmere, kom gjerne innom kontoret mitt i 11. etasje (1148) - eller send meg en email.

Likninger med fraksjonelle deriverte

Hva er likninger med fraksjonelle deriverte? Les her for en beskrivelse av fraksjonelle diffusjonslikninger for å få en ide. Disse likningene kalles også integro-partielle diffensiallikninger og utgjør et meget populært forskningstema for tiden. På IMF er det en gruppe som jobber med dette, se f.eks. prosjektsiden til Integro-PDEs: Numerical methods, Analysis, and Applications to Finance.

For den som kunne være interessert i å ta en PhD, så kan mange av oppgavene under være et godt utgangspunkt for et PhD prosjekt.

Oppgaver

  1. Fraksjonelle diffusjonslikninger. Teori (og numerikk om ønskelig).

  2. Fraksjonelle konserveringlover og konveksjons-diffusjons likninger: Teori og/eller numerikk.
    Meget 'hot' forskningsområde! Ta kontakt for mer info.

  3. Fraksjonelle fullt ikke-lineære diffusjonslikninger: Teori og/eller numerikk.
    Meget 'hot' forskningsområde! Ta kontakt for mer info.

Teoretiske problemer av interesse:

  • Vise eksistens og entydighet og egenskaper som f.eks. stabilitet, regularitet og kontinuerlig avhengighet.
  • Studere ulike approksjonsmetoder matematisk, f.eks. singulær perturbasjon, grensen når fraksjonell diffusjon går mot vanlig diffusjon, eller numeriske metoder.
  • Oppsummere og videreutvikle eksisterende teori.
  • OBS: Det er en annen type teori som brukes for ikke-lineære problem enn den beskrevet i PDF-filen over.
    Moderne løsningsbegrep som entropi- og viskositetsløsninger brukes.

Numeriske metoder av interesse:

    Differense-, endelig element, diskontinuerlig Galerkin og spesielt ulike typer spektralmetoder.
    Diskretisere nye og/eller gamle problem. Implementere testeksempler.
    Vise egenskaper ved metodene og evt. konvergens og feilestimater.
    OBS: Likningene er spennende og utfordrende numerisk fordi:
    • de har ikke-lokale singulære (integral-)ledd,
    • de kan være ikke-lineære,
    • de kan være degenerete og ha irregulære løsninger (løsninger som har sjokk eller knekkpunkt),
    • tilsynelatede meget gode numeriske metoder kan gi helt gale løsninger!

Gode støttekurs for dette temaet vil være:

  • TMA4305 Partielle differensialligninger (teori/numerikk)
  • TMA4220 Num Part Diff Elem (numerikk)
  • TMA4225 Analysens Grunnlag (teori)
  • (TMA4230 Funksjonalanalyse) (teori)
  • (TMA4170 Fourieranalyse) (teori)

Matematisk finans

Klassisk Black-Scholes teori for prising av opsjoner undervurderer grovt sjangsen for store børsfall eller krakk. I en mer realistisk og moderne teori er prisen gitt som løsningen av et initialverdiproblem for en fraksjonell diffusjonslikning.

Oppgaver

  1. Mer realistisk opsjonsprising - fraksjonell diffusjon (teori).

  2. Spektralmetoder for opsjonsprising (numerikk).

  3. Numerisk løsning av fraksjonelle opsjonsprisingslikninger (numerikk).

Gode støttekurs for dette temaet vil være:

  • TMA4305 Partielle differensialligninger (teori/numerikk)
  • TMA4220 Num Part Diff Elem (numerikk)
  • Emnemoduler i finans.
  • (TMA4225 Analysens Grunnlag) (teori)
  • ((TMA4230 Funksjonalanalyse)) (teori)