SIF5003 Matematikk 1 for F1 2002
Forelesninger - notater i for- og etterkant
Introduksjon.
Kapittel 2: grenser, deriverbarhet og kontinuitet. Mest avsnittene 2.2-2.3.
Avsnitt 8.3 (i kapittel 8): L'Hôpitals regel
Foruten en del innledende og praktiske opplysninger (webside, presentasjon av meg selv etc) hadde jeg kanskje en litt filosofisk vinkling på deler av åpningsforelesningen, blant annet med referanse til Eugene Wigners klassiske artikkel The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences fra 1960. Hvis du synes slikt er interessant kan du fortsette med R. W. Hammings artikkel The Unreasonable Effectiveness of Mathematics fra 1980.
Jeg endte med å gjengi den moderne definisjonen av grensbegrepet, slik det ble utformet av Karl Weierstrass (1815-1897). Her er et lite sitat fra biografien hans:
In 1861 his emphasis on rigour led him to discover a function that, although continuous, had no derivative at any point. Analysts who depended heavily upon intuition for their discoveries were rather dismayed at this counter-intuitive function.
Noe å tenke på, kanskje?
Noen bemerkninger om de forskjellige grenselovene (avsnitt 2.2, spesielt sidene 68 og 70). Deretter ga jeg et geometrisk argument (jeg tør knapt kalle det et bevis) for den grunnleggende trigonometriske grensen (sin x/x når x går mot 0).
Men det viktigste temaet var kanskje skviseloven (squeeze law, avsnitt 2.3 side 79).
Deretter en tur innom avsnitt 8.3 og L'Hôpitals regel, som Guillaume De l'Hôpital i virkeligheten lærte av Johann Bernoulli (hele historien står å lese i L'Hôpitals biografi).
Prøve å bli ferdig med kapittel 2, komme godt i gang med kapittel 3.
Ensidige grenser (avsnitt 2.3), kontinuitet (2.4) og aller viktigst: Skjæringssetningen (Intermediate value property, side 91). Dette er et helt abstrakt eksistensresultat: Teoremet sier ingenting om hvordan man finner en løsningen til ligningen, bare at det finnes minst en løsning. Men ett bevis gir et hint: Man deler intervallet suksessivt i to, og hver gang beholder man den delen hvor funksjonen tar verdier i endepunktene som ligger på hver sin side av den ønskede verdien.
Dermed tror jeg vi kan erklære oss ferdige med kapittel 2.
Vi kom godt i gang med kapittel 3, med definisjonen av derivasjon. En hovedidé er at grafen til en deriverbar funksjon ser ut som en rett linje om man bare ser på en liten bit i stor nok forstørrelse. Anvendelser på hastighet, akselerasjon og andre rater må også nevnes. (En rate er en endring per tidsenhet, ofte mest naturlig uttrykt som en derivert.)
Derivasjonsregler (avsnitt 3.2) brukte jeg ikke så mye tid på, men kjerneregelen (3.3) og noen konsekvenser av den (eksempel: rateberegninger) fikk mer oppmerksomhet.
Gottfried Wilhelm von Leibniz og Sir Isaac Newton utviklet differensialregningen i annen halvdel av 1600-tallet. Regelen for den deriverte av xn ble for eksempel utledet av Leibniz i 1676. Det oppsto for øvrig en meget bitter uenighet mellom Newton og Leibniz over hvem som var først - se biografien over Leibniz for detaljene.
Newton og Leibniz tenkte nok ikke på den deriverte som en grense. Leibniz arbeidet med differensialer, som hadde en viss likhet med dagens differensialbegrep, mens Newton arbeidet med noe han kalte fluxioner som nok var noe lignende. Den moderne definisjonen ble først fremsatt av Jean Le Rond d'Alembert i 1754. Det tok altså rundt 80 år å komme så langt! Og enda tok det lang tid før selve grensebegrepet var avklart - men d'Alembert forsto i hvert fall at det var nødvendig.
Målet må være å bli ferdig med kapittel 3 og komme i gang med kapittel 4. Spesielt viktig i kapittel 3 er avsnitt 3.5 om optimalisering (finne minimum og maksimum), avsnitt 3.8 om implisitt derivasjon, og avsnitt 3.9 om numerisk ligningsløsning med Newtons metode.
Jeg hadde et par løse ender å plukke opp: En geometrisk tolkning av deriverbarhet sammen med teoremet om at deriverbarhet impliserer kontinuitet.
Resten av tiden gikk med til avsnitt 3.5 og optimalisering, altså å finne minimum og maksimum. Setningen om eksistens av maksimum for en kontinuerlig funksjon på et lukket (og begrenset) intervall er et rent abstrakt eksistensteorem, og man skulle tro det ikke har så stor praktisk betydning. Men det er feil! For koblet med setningen om at ethvert maksimumspunkt må være enten et kritisk punkt for funksjonen eller et endepunkt for intervallet, gjør den at det er nok å bestemme de kritiske punktene og evaluere (regne ut) funksjonen i de kritiske punktene og endepunktene for å være sikker på at man har funnet maksimum. Husk: Et kritisk punkt er et punkt hvor funksjonen enten ikke er deriverbar, eller den deriverte er null. Vi forutsetter her at funksjonen er kontinuerlig, også i de punktene hvor den ikke er deriverbar.
Avsnitt 3.8 om implisitt derivasjon og beslektede rater (related rates), 3.9 om iterasjon og Sir Isaac Newtons metode.
Tempoplanen sier: Kapittel 4 og 5 og induksjon. Jeg har ikke kommet i gang med kapittel 4 ennå, så det skal holde hardt - selv om bare avsnitt 4.2 og 4.3 blir forelest fra dette kapitlet! Resten er selvstudium. (Det er mye kurvedrøfting, som dere kan fra før.)
Avsnitt 4.2 om inkrementer, differensialer og lineær tilnærming: Noe av dette hadde jeg allerede tatt litt på forskudd, med min alternative definisjon av deriverbarhet. Mest nytt var nok delen om differensialer. Når y=f(x) skriver vi dy=f'(x)dx, og tolker dette som en lineær tilnærming til økningen i y når x øker med dx. «Magien» i dette ligger i at man kan regne formelt med differensialer og få rett svar, selv om regningene tilsynelatende ikke gir mening, som når vi behandler dy/dx som en brøk i stedet for en derivert. Dere vil komme til å se flere eksempler på dette etterhvert. Spesielt i anvendelser er det veldig vanlig å regne med differensialer.
Avsnitt 4.3 om monotonitet og sekantsetningen har nok litt teoretisk tilsnitt. Jeg beviste først et spesialtilfelle av sekantsetningen, nemlig Michel Rolles teorem, som er en direkte konsekvens av eksistensteoremet for ekstrempunkter sammen med det faktum at ekstrempunkter må være endepunkter i intervallet eller kritiske punkter. Deretter følger den generelle sekantsetningen ved å bruke Rolles teorem på differensen mellom f og ligningen for sekanten gjennom (a,f(a)) og (b,f(b)). Korollarer til sekantsetningen er setningene om at hvis den deriverte alltid er null er funksjonen konstant, hvis to funksjoner har samme deriverte er forskjellen mellom dem en konstant, og hvis den deriverte er positiv (negativ) er funksjonen voksende (avtagende). Dette gir det teoretiske grunnlaget for mye kurvedrøfting.
Et korollar er en setning som følger umiddelbart av en annen setning, uten noe mer enn et minimalt bevis.
Men sekantsetningen har også andre anvendelser. Den kan ses på som et spesialtilfelle (n=0) av Taylors formel (se side 651 i E&P). Vi kommer dit med tiden.
Notatet om induksjonsbevis blir gjennomgått. Du finner notatet på hovedsiden.
Kapittel 5 handler om integrasjon.
Tempoplanen sier vi skal bli ferdig med kapittel 5 (integrasjone) og avsnitt 9.8 («uegentlige» integraler).
Jeg introduserte integrasjon, sett litt aksiomatisk, og viste at fundamentalsetningen i kalkulus er en konsekvens av de mest vanlige egenskapene ved integralet. Jeg kom knapt nok i gang med å definere Riemann-integralet.
Georg Friedrich Bernhard Riemanns viktigste bidrag til matematikken er ikke integralet, men det er det som har gjort hans navn kjent blant millioner (?) av kalkulus-studenter. Han har blant annet gitt en presis karakterisering av de integrerbare funksjonene: f er (Riemann-)integrerbar hvis og bare hvis f er begrenset, og kontinuerlig overalt unntatt i en punktmengde med mål null. Men å forklare hva dét betyr, vil føre for langt her.
Her er kopi av en del av presentasjonen som gikk på PC: Passende for skjerm (pdf) og passende for utskrift (pdf, ps).
Noe mer om integrasjon og fundamentalteoremet, og om definisjonen av Riemannintegralet. Jeg integrerte en enkel funksjon (x2) direkte ved Riemannsummer. Vi skal være glad vi slipper å gjøre slikt til daglig!
Fra avsnitt 5.9 om numerisk integrasjon: Jeg forklarte hvordan man kommer til formlene for trapesmetoden, midtpunktmetoden og Simpsons formel. De to første er eksakte for polynomer av første grad, mens for annengradspolynomer er feilen i trapesmetoden presis -2 ganger feilen i midtpunktsmetoden. Derfor får man en formel som er eksakt riktig for alle annengradspolynomer ved å ta 1/3 ganger trapesmetoden pluss 2/3 ganger midtpunktsmetoden, og det er det som er Simpsons formel.
Bli ferdig med kapittel 5: Det gjenstår litt i 5.7, nemlig substitusjon i bestemte integraler. Og noe i 5.9, nemlig feilestimater for de numeriske metodene. Avsnitt 5.8 overlater jeg til en kombinasjon av selvstudium og øvingstimen.
Så går vi løs på kapittel 6.
Nå skal jeg reise bort et par dager (årsmøte i Norsk Matematikkråd), så jeg får heller utbrodere dette litt når jeg er tilbake på søndag.
Oops. Jeg oppgraderte teksten hit torsdag kveld, men må ha glemt å konvertere til HTML. (Nå er det søndag kveld.)
Jeg er redd jeg gikk i alt for mye detalj om integrasjonsmetoden til Thomas Simpson i starten av timen i dag: Jeg viste detaljert hvordan feilen blir for trapesmetoden og midtpunktsmetoden anvendt på integranden x2, og at feilen for trapesmetoden i dette tilfellet blir presis -2 ganger feilen for midtpunktsmetoden, slik at en passende kombinasjon av de to blir presist korrekt for alle annengradspolynomer. Denne kombinasjonen er Simpsons metode (etter at vi har tatt hånd om en ytterligere komplikasjon ved at vi døper om 2n til n for å få en notasjon som er mer sammenlignbar med de andre numeriske integrasjonsmetodene).
Nuvel. Deretter var temaet feilestimater, og jeg viste hvordan man kan finne og anvende slike på et par eksempler. Legg merke til at i teoremene i E&P side 352 trenger vi ikke alltid ha optimale verdier for konstantene K2 og K4, så vi trenger ikke finne ekstrempunktene for de annen- eller fjerde-deriverte over integrasjonsintervallet. Det er ofte godt nok å finne en eller annen øvre grense. Hvis denne blir for stor blir vi kanskje lurt til å ta med litt for mange punkter i integrasjonsmetoden for å oppnå ønsket nøyaktighet, men det er sjelden noe problem (det kommer an på anvendelsen).
Jeg var raskt innom avsnitt 5.7: Vi har tidligere snakket om substitusjon i ubestemte integraler. Det nye er bestemte integraler, som kan håndteres akkurat på samme måte, men nå må vi også passe på å substituere i grensene.
Først brukte jeg 20-25 minutter på avsnitt 9.8 (såkalt uegentlige integraler). Det er to sorter vanskeligheter, som begge håndteres ved å gå til en grense: Den ene er om en integrasjonsgrense er uendelig, og den andre er om selve integranden blir ubegrenset. Om ett integral har slike problemer i begge ender av integrasjonsintervallet deler vi det opp og tar delene hver for seg.
Mesteparten av tiden ble viet til starten på kapittel 6 om forskjellige integralformler.
Avsnitt 6.1 er et nokså generelt avsnitt om å stille opp integraler, i stor grad basert på at man tilnærmer størrelsen man er interessert i ved summer som så viser seg å være Riemannsummer for et passende integral.
Avsnitt 6.2 anvender dette på volumberegniner, hvor integralet uttrykker Bonaventura Francesco Cavalieris prinsipp. Spesielt anvendes dette på rotasjonslegemer, og da snakker vi gjerne om skivemetoden.
Avsnitt 6.3 beregner i stedet volumet av rotasjonslegemer ved sylinderskallmetoden. Jeg beregnet volumet av en rotasjonsparaboloide ved begge metodene.
Vi skal bli ferdig med kapittel 6.
Først avsnitt 6.4 om buelengde og arealet av rotasjonsflater.
Deretter avsnitt 6.5 om separable differensialligninger men også litt avsnitt 6.6 om kraft og arbeid.
Dessuten skal vi i prinsipp dekke hele kapittel 7 om eksponensial- og logaritmefunksjonene, men jeg tror dere må ta en god del av det som selvstudium. Dette kan se litt overveldende ut, men mye av stoffet er kjent. Det som kanskje vil ta mest tid er å se på omvendte funksjoner (inverse functions) generelt.
Etter en kort oppsummering av integrasjonsteknikker for volum av rotasjonslegemer gikk jeg gjennom definisjonen av buelengde - egentlig ved tilnærming til kurven ved rette linjestykker, men dette leder til en Riemannsum for et integral som lettest huskes ved formelen ds=((dx)2+(dy)2)1/2.
Deretter utldedet jeg den nært beslektede formelen for areal av en rotasjonsflate, og illustrerte det ved å regne ut overflatearealet av en amerikansk fotball, som oppstår ved at parabelbiten y=x-x2, der x varierer over [0,1], roteres om x-aksen.
Til slutt startet jeg på separable differensialligninger ved å finne den generelle løsningen for ligningen p'(t)=-p(t), som blant annet modellerer radioaktiv nedbrytning (med en tidsskala som er tilpasset materialet - ellers må man multiplisere høyresiden med en passende konstant). Løsningen er p(t)=e-t.
Jeg gjorde meg ferdig med separable differensialligninger og sa noen ord om kapittel 7. Mer detaljerte notater må komme siden - jeg har vært for opptatt med midtsemesterprøven til å skrive mer. Men her er i hvert fall noe å se på:
Lisa Lorentzen vikarierte. Selv hadde jeg jobbet for mye med midtsemesterprøven til å makte en forelesning, og jeg turte heller ikke være borte fra kontoret når prøven skulle settes i gang.
Hun startet på kapittel 11, og tok for seg materialet i 11.2 om følger og 11.3 om rekker.
Teorien for konvergens og divergens for følger følger stort sett i samme spor som tilsvarende teori for funksjoner. Av spesiell interesse er setningen som sier at en monoton følge (altså en som enten er voksende eller avtagende) enten er konvergent eller divergerer mot (pluss eller minus) uendelig. Dette er en konsekvens av kompletthetsegenskapen for de reelle tall, og kan oppfattes som en variant av denne.
Teorien for konvergens og divergens for rekker minner litt om teorien for «uekte» integraler. Spesielt viktig i denne omgang er geometriske rekker og n-teleddstesten, som simpelthen sier at leddene i en konvergent rekke må gå mot null. Testen brukes som regel omvendt: Hvis ikke leddene går mot null, er rekken nødvendigvis divergent.
Timen startet jo meget dårlig med at vi måtte forflytte oss til H3. Jeg er redd fadesen var min feil. Jeg har nok fått beskjed (for lenge siden) om at auditoriet var lovet bort til andre den dagen, men hadde klart å forvirre meg selv fordi den timen opprinnelig var en øvingstime, så jeg fikk ikke riktig med meg at det nå gjaldt forelesningen i stedet, etter at forelesning og øving byttet plass.
Nuvel - tema var i hvert fall fra 11.4: Taylorpolynomer og -rekker. Rekkene og formelen til Brook Taylor er kanskje noe av det som studenter tradisjonelt sliter med å forstå, og jeg synes også det er noe av det vanskeligste å forklare. Matematikken består knapt av noe mer enn Taylors formel, pluss noen få regneregler. Neste gang får vi ta noen flere eksempler, så skal vi se om det blir klarere. Dagens forelesning endte med Taylorrekka (egentlig Maclaurin-rekka, som det heter når man tar utgangspunkt i x=0) for eksponensialfunksjonen.
Det har handlet om rekketeori fortsatt.
Først gjorde jeg meg ferdig med Taylorpolynomer og -rekker.
Deretter handlet det om integraltesten (avsnitt 11.5).
Hovedsaklig sammenligningstesten (og grensesammenligning, avsnitt 11.6). Men jeg var også innom forholdstesten fra avsnitt 11.7, fordi den er basert på sammenligning med en geometrisk rekke og derfor hører naturlig hjemme her.
Avsnitt 11.7, mest om alternerende rekker men først litt mer om forholdstesten og rottesten. Også betinget og absolutt konvergens, og det nokså spesielle resultat av mens summen av en absolutt konvergent rekke ikke endrer seg om man flytter rundt på leddene, kan summen av en betinget konvergent rekke gjøres til akkurat det man vil!
Det rare som skjer med betinget konvergente rekker minner litt om Hilberts hotell: Dette hotellet har uendelig mange rom, nummerert 1, 2, 3 osv. En dag da hotellet var fullt og det kom en ny gjest, løste man problemet ved å flytte alle gjester til neste rom, altså gjesten i rom n til rom n+1, slik at rom 1 ble ledig. En annen dag, da hotellet var fullt og det kom uendelig mange gjester, løste man dét ved å flytte gjesten i rom n til rom 2n, slik at alle rom med odde romnummer ble ledig.
Det er billig å bo på Hilberts hotell: ¤1 per natt. Men man får pengene tilbake, og likevel tar Hilbert inn uendelig mye penger hver dag! Først betaler gjestene i rom 1, 2 og 3. Deretter får gjesten i rom 1 pengene sine tilbake, og hotellet har tjent ¤2. Så betaler gjestene i rom 4 - 8, og de i rom 2 og 3 får igjen sine penger. For n=1,2,3... betaler først de neste 2n+1 gjestene, hvorpå de forrige 2n gjestene får igjen pengene. Dette er egentlig et pyramidespill, og slike er ulovlige, med god grunn. Legg merke til at det er rekkefølgen som gjør at dette virker. At en betinget konvergent rekke kan omarrangeres til å få en vilkårlig sum, bygger på samme prinsipper. Jeg brukte Maple til å illustrere dette ved å omarrangere leddene i en rekke som normalt konvergerer betinget mot ln 2 til å gi summen 1,6.
Kapittel 8: Omvendte trigonometriske funksjoner, mer om L'Hôpitals regel: Nye ubestemte uttrykk (uendelig minus uendelig og diverse varianter med eksponenter, som løses ved å ta grensen av logaritmen istedet og så anvende eksponensialfunksjonen på svaret.).
Kapittel 9: Integrasjonsteknikker. Diverse substitusjonsteknikker, delvis integrasjon, delbrøksoppspalting
Først litt om textit{hyperbolske funksjoner}, som er bygd opp av eksponensialfunksjoner men som har egenskaper som minner veldig om trigonometriske funksjoner. Derfor har de også lignende navn: cosh, sinh, tanh.
Deretter fra avsnitt 9.3 om delvis integrasjon: Produktregelen (for derivasjon) i revers.
Delvis integrasjon satte oss i stand til å gi et bevis for Taylors formel. Jeg viste dette ganske kort. Om du er interessert, har jeg laget et lite notat om dette: (pdf/ps).
Avsnitt 9.4 om diverse trigonometriske integraler. Min anbefaling: Unngå funksjonene sec og csc, skriv alt ved hjelp av sin, cos og tan i stedet. Ellers blir floraen av trigonometriske funksjoner for stor, og du klarer bare å huske den så lenge du jobber aktivt med den.
Avsnitt 9.5 om rasjonale funksjoner og delbrøkoppspalting. Spesielt nytt er vel hva man kan gjøre med irredusible kvadratiske faktorer i nevneren. Formlene 5 og 6b i Rottmann side 133 er nyttige.
Et polynom kalles irredusibelt om det ikke kan spaltes opp som et produkt av polynomer av lavere grad. De irredusible reelle polynomene er bare de av første grad, samt annengradspolynomer uten reelle røtter. (Man kan raffinere begrepet irredusibelt ytterligere, ved å ta hensyn til hvilke tall man vil akseptere som koeffisienter. Således sier man at x2-2 er irredusibelt over de rasjonale tall, mens det kan spaltes opp i et produkt av to førstegradspolynomer over de reelle tall. På den annen side er x2+1 irredusibelt over de reelle tall, men ikke over de komplekse tall, siden x2+1=(x-i)(x+i). Komplekse tall skal dere vel lære om til våren.)
Kapittel 10: Polarkoordinater og plane kurver. Parametriske kurver, diverse integralformler, areal i polarkoordinater.
Ikke alle kurver beskrives best på formen y=f(x) eller x=g(y). Sirkelen, for eksempel beskrives bedre ved x=cos(t), y=sin(t). Dette er bare ett eksempel på en parametrisk kurve.
Dagens forelesning var viet til polarkoordinater. Avsnitt 10.2 introduserer polarkoordinater og viser en del eksempler på hvordan man hanskes med kurver gitt ved ligninger i polarkoordinater.
Desverre ender avsnittet dårlig, med eksempel 8 side 577, hvor forfatterne av boken farer med direkte sludder: Det er ikke sant at man ikke kan regne seg frem til alle skjæringspunktene «med algebra». Derimot er det riktig at man ikke klarer dette uten en viss forsiktighet. Jeg nådde ikke forklare fremgangsmåten, så jeg har laget et kort notat (1 side: pdf/ps).
Avsnitt 10.3 handler om arealberegninger i polarkoordinater. Jeg brukte et mapleregneark til å illustrere med.
Det handlet om avsnitt 10.4 og 10.5, altså parametriske kurver og integralberegninger med slike. Jeg skriver kanskje litt mer utførlig senere (om jeg har tid), men her er i alle fall Mapleregnearket jeg brukte, med blant annet en animering av sykloiden.
11.8 - 11.9: Potensrekker. Taylorrekker er potensrekker, men potensrekker kan også oppstå på annet vis. Vi har lært å regne med funksjoner som kun er definert ved en potensrekke. (Men det viser seg at forskjellen er neglisjerbar: Om du starter med en funksjon definert som summen av en potensrekke og regner ut Taylorrekken til denne funksjonen, så får du tilbake potensrekken du arbeidet med.)
Funksjoner som kan uttrykkes som summen av sin egen Taylorrekke i nærheten av ethvert punkt kalles (reelt) analytiske. Alle de elementære funksjonene er analytiske.
Potensrekker, mest fra avsnitt 11.8. Denne dagen har jeg konsentrert meg om potensrekker utviklet om 0, altså de som involverer potenser av x i stedet for x-c. Om konvergens av potensrekker: Absolutt konvergens innenfor konvergensradien, divergens utenfor. Endepunktene x=R og x=-R må alltid sjekkes spesielt. Potensrekker kan alltid deriveres og integreres leddvis, og konvergensradien blir den samme (men rekken for den deriverte kan godt divergere i endepunktet selv om den opprinnelige rekken konvergerer der). Jeg brukte dette til å finne Maclaurinrekken til arctan ved å integrere den geometriske rekken for 1/(1+x2).
Jeg endte med en nokså kjapp gjennomgang av binomialrekken.
Startet med å ta binomialrekkene i litt mer detalj. Jeg viste at en slik rekke konvergerer mot funksjonen den var utledet fra (som Maclaurinrekken) ved å vise at den passer i en separabel differensialligning, som jeg så løste.
Jeg viste også hvordan potensrekker kan være nyttige i integralberegninger der man kanskje ikke klarer å løse det ubestemte integralet.
Potensrekker kan ofte brukes i stedet for L'Hôpitals regel i 0/0-uttrykk.
Produkt av potensrekker: Beregnes ved å gange sammen alle ledd og ordne produktene etter potensen av x. Produktsummen konvergerer minst i det samme intervallet hvor begge de opprinnelige rekkene konvergerer.
Jeg brukte potensrekker for å løse et kombinatorisk problem: Hvis n studenter legger sitt eksemplar av E&P i en diger haug og disse deretter deles ut tilfeldig til de samme studentene, hva er da sjansen for at ingen får sin egen bok? Svaret er n-te delsum i den vanlige rekken for e-1. Siden den rekken konvergerer svært raskt, er svaret e-1 med god nøyaktighet så lenge n er litt stor (feilen er i størrelsesorden 1/n!). Altså ca. 36,8%. Løsningsmetoden brukte den genererende funksjonen for sannsynlighetene, som er definert som en potensrekke med koeffisienter pn. Resten var et lite regnestykke med produktet av potensrekker.
Dermed er jeg ferdig med å forelese nytt stoff.
Oppsummering og repetisjon.
Et forsøk på å oppsummere en stor del av pensum, inklusive hele differensialregningen og mye av integralregningen. Jeg brukte et slags oversiktsbilde av hele pensum. Dette viser ikke logisk struktur i betydningen hva avhenger av hva, men viser forbindelser mellom forskjellige områder.
Bildet finnes her som png (enger seg til å se på skjermen). I tilfelle du ønsker å skrive det ut har jeg laget en utgave i pdf. Siden bildet er i «landskaps»-format trodde jeg at jeg måtte Landscape i Page Setup i Acrobat Reader, men da kom utskriften feil vei. Lot jeg det stå som Portrait, derimot, kom det ut rett på papiret. Forstå det den som kan. Andre versjoner av Acrobat Reader håndterer kanskje dette annerledes.
Oppdatert: 2002-11-18 13:34
