I første timen råkjørte jeg gjennom et helt semesters pensum på en drøy halvtime! Jeg endte opp med å presentere de tre store teoremene i kurset: George Greens teorem, divergensteoremet (også gjent som Johann Carl Friedrich Gauss teorem) og George Gabriel Stokes teorem. Disse har alle til felles at de kan betraktes som generaliseringer av fundamentalteoremet.
Gauss og Stokes teoremer er med å gi mening til James Clerk Maxwell ligninger, og trengs for å få til overgangen mellom den differensielle formen og integralformen av disse ligningene.
Lenken over til Maxwells ligninger kom fra Eric Weisstein's Treasure Trove of physics. Der finner du også en annen biografi over Maxwells.
I den andre timen startet jeg på kapittel 12, med rektangulære koordinater og vektorer i to og tre dimensjoner (avsnitt 12.1-2).
Etter tempoplanen skulle jeg blitt ferdig til og med 12.5, men ble bare ferdig med 12.4.
Litt fra avsnitt 12.2: Vinkler og ortogonalitet¹. Deretter kryssprodukt (12.3). Det er neppe opplagt at den algebraiske definisjonen av kryssprodukt er ekvivalent med den vanlige geometriske definisjonen, men jeg håper jeg klarte å overbevise dere om det ved å ta utgangspunkt i den algebraiske definisjonen og vise at den gir resultater som samsvarer med den geometriske definisjone. Underveis fikk vi med oss noen algebraiske egenskaper ved kryssproduktet, og tolkningen av trippelproduktet som et volum.
¹ Ortogonal og perpendikulær betyr det samme. Boken foretrekker det siste, jeg foretrekker det første.
Avsnitt 12.4 om linjer og plan i rommet er vel til en viss grad kjent stoff, men jeg sa noen ord om det: Linjer på parameterform og «symmetrisk» form, og plan gitt ved et punkt og en normalvektor, eller på parameterform, gitt ved et punkt og to vektorer som spenner ut planet. Dette siste var åpenbart uvant for mange, så jeg brukte litt mer tid på det, og dermed kom jeg ikke lengre.
Uken skulle være viet avsnitt 12.7 og 12.8, om forskjellige flater i rommet og sylinder- og kulekoordinater, men åpenbart må jeg først si en del om 12.5.
Først om kurver i rommet (12.5) og vektorvaluerte funksjoner. Vi ser at vi kan snakke om grenser og kontinuitet, derivasjon og integrasjon av vektorvaluerte funksjoner ved å ta hver komponent for seg. En parametrisk kurve er bare en kontinuerlig vektorvaluert funksjon definert på et intervall.
Som et sidesprang introduserte jeg en kurve etter Giuseppe Peano som fyller et helt kvadrat i planet.
Avsnitt 12.6 er ikke pensum, men jeg sa noen ord om hastighet og akselerasjon, og hvordan det bare er komponenten av akselerasjonen langs hastigheten som bidrar til endring av farten (det vil si lengden av hastighetsvektoren): Ortogonalkomponenten av akselerasjonen bare endrer retningen på hastigheten.
Jeg startet på avsnitt 12.7 om flater i rommet. De er gjerne gitt ved en ligning F(x,y,z)=0, men vi må kreve at gradienten til F ikke er null noen steder innenfor løsningsmengden til ligningen (gradienten defineres i kapittel 13, i slutten av neste uke). Spesialeksemplet plan kan visualiseres ved å beregne hvor de skjærer de tre aksene og så tegne opp trekanten med de tre skjæringspunktene som hjørner. En sylinder genereres av en kurve i rommet og en retning, og er sammensatt av alle linjer som skjærer kurven og har den gitte retningen. Spesielt har vi sylindre parallelle med aksene, som gjenkjennes ved at de har en ligning som bare inneholder to av de tre variablene.
Først avsnitt 12.7 om Kvadratiske flater. Jeg hoppet rett nok over de hyperbolske paraboloidene. Avsnittet om roterte kjegler og kvadratiske flater (nederst side 778 til og med side 781) er ikke pensum - flater gitt ved kvadratiske ligninger med kryssledd krever rotasjon av aksekorset, og håndteres lettere med teknikker fra lineæralgabraen (i Matematikk 3).
Deretter avsnitt 12.8 om sylinder- og kulekoordinater. Begge generaliserer polarkoordinater i planet. Sylinderkoordinatene gjør dette enklest, ved å bruke polarkoordinater for x og y mens z brukes som den er. En geometrisk måte å tenke på kulekoordinater er denne: Gitt et punkt P(x,y,z), bruk først polarkoordinater i planet som inneholder z-aksen og P, og mål deretter vinkelen mellom dette planet og x-aksen. Du ender med én lengde og to vinkler, mens sylinderkoordinatene bruker to lengder og én vinkel.
Sylinderkoordinater er spesielt nyttige for problemer med rotasjonssymmetri om z-aksen, mens kulekoordinater passer bra for problemer med rotasjonssymmetri om origo. Men det er mange problemer hvor begge koordinatsystemer er vel egnet, og bare erfaring og prøving kan vise hva som fungerer best i hvert enkelt tilfelle.
Jeg brukte Maple til å visualisere diverse flater. Maple-regnearket er tilgjengelig. Noen av teknikkene jeg har brukt krever en forståelse for flater på parametrisk form, noe som strengt tatt er et tema vi kommer til litt senere. Jeg tror en kombinasjon av eksperimenter med Maple og mer manuelle teknikker, som å beregne snittet av flaten med koordinatplanene (eller plan parallelle med koordinatplanene), er en grei måte å lære seg å hanskes med flater i rommet.
Denne dagen var mange av dere på Åre, mens jeg foreleste fra avsnitt 13.2-13.3: Om funksjoner av flere variable, og grenser og kontinuitet for slike. Første delen er mest eksempler, hvor jeg konsentrerte meg om forskjellige måter å visualisere grafen til en funksjon av to variabler: Man kan tegne nivåkurver (spesielt greit for orienteringsløpere), eller tverrsnitt langs rette linjer x=konstant eller y=konstant, og man kan få hjelp av Maple til å tegne tredimensjonale bilder av grafen. Når det gjelder grenser og kontinuitet er teorien i stor grad en generalisering av den fra én variabel, og vi har i stor grad de samme regnereglene. Det store unntaket er at vi ikke har noen flerdimensjonal versjon av L'Hôpitals regel, slik at 0/0-uttrykk kan kreve mer innsats. Jeg viste et par eksempler hvor innføring av polarkoordinater er nok til å finne grensen, eller å finne at den ikke eksisterer. Det siste og mest kompliserte eksemplet er fra oppgave 13.3.51, hvor alle nivåkurvene er parabler som alle møtes i origo, slik at funksjonen ikke kan ha noen grense der.
Edwards & Penney har uteglemt et lite men viktig poeng i definisjonen av grense: De skulle utelukket situasjonen der (a,b) har en omegn som ikke inneholder noen punkter fra definisjonsområdet til f. Hvis man leser definisjonen deres bokstavelig slik den nå står, har funksjonen grense L i et slikt punkt, uansett hva L måtte være.
Maple-regnearket jeg brukte i forelesningen er tilgjengelig.
I hovedsak avsnitt 13.4 om partiellderivasjon. Jeg startet med å minne om hva vi vet om funksjoner av en variabel: At en funksjon er deriverbar i et gitt punkt betyr at den er veldig nær en affin funksjon nær dette punktet.
Her har jeg brukt standard matematikerterminologi, som krever at en lineær funksjon tar verdien 0 i 0, slik at den mest generelle lineære funksjonen i en variabel har formen L(x)=ax, mens en affin funksjon er summen av en lineær funksjon og en konstant: A(x)=ax+b. Mange sier lineær om funksjoner vi foretrekker å kalle affine.
Den naturlige generaliseringen av dette til en funksjon av to (eller flere) variable er begrepet differensiabel, som boken først innfører mot slutten av avsnitt 13.6. Essensielt er en funksjon f av to variabler differensiabel i (a,b) dersom vi kan skrive
f(x,y) = f(a,b) + A·(x-a) + B·(y-b) + R(x,y)
der R(x,y) går mot null fortere enn avstanden fra (x,y) til (a,b) når (x,y) går mot (a,b).
Heldigvis er konstantene A og B i definisjonen over lette å regne ut: De må være de partiellderiverte av f med hensyn på henholdsvis x og y, regnet ut i (a,b). Men eksistensen av de partiellderiverte er ikke nok til å garantere differensiabilitet. Dersom de partiellderiverte i tillegg er kontinuerlige, derimot, følger differensiabilitet. Dette er teoremet om lineær tilnærming (Theorem 1 i 13.6).
Jeg regnet noen eksempler på partiellderivasjon og utregning av tangentplan, og avsluttet litt hesblesende med å antyde at blandede partiellderiverte er like, og hvorfor. Maple-regnearket jeg brukte er tilgjengelig.
Tempoplanen sier avsnitt 13.5-13.7. Det vil si maksimering og minimering, inkrementer og differensialer, og kjerneregelen i flere variabler. I avsnitt 13.7 er følgende ikke pensum: «Matrix form of the chain rule» og beviset for kjerneregelen (det vil si fra 2/3 ned på side 848 til og med side 850).
I hovedsak avsnitt 13.5 om ekstrempunkter (maksima og minima) i flere variable. Dersom et indre punkt i definisjonsområdet til f er et lokalt ekstrempunkt, er punktet nødt til å være kritisk punkt for f: Det vil si at alle de første ordens partiellderiverte for f er null i punktet, eller at minst en av dem ikke eksisterer der. Vi har også et eksistensteorem for ekstrempunkter: En kontinuerlig funksjon definert på en lukket og begrenset mengde har antar sine maksimums- og minimumsverdier.
Et punkt P er et indre punkt for et område R dersom det finnes en sirkelskive med sentrum i P som er helt inneholdt i R.
R er åpen dersom alle punkter i R er indre punkter i R.
Et punkt P kalles et randpunkt for R dersom enhver sirkelskive med sentrum i P inneholder minst ett punkt i R og minst ett punkt utenfor R. (P selv kan være med i R eller ikke.)
R kalles lukket dersom alle randpunktene til R er med i R.
Hvis vi arbeider i 3 (eller flere) dimensjoner, må vi bytte ut «sirkelskive» i definisjonene over med «kule». For øvrig finnes presis to mengder i planet som både er åpne og lukkede: Nemlig den tomme mengden, og hele planet. At det ikke finnes flere, skyldes at planet er sammenhengende (dette er faktisk definisjonen av sammenhengende).
Edwards & Penney stiller opp teoremet om eksistens av ekstrempunkter bare for området som består av en enkel lukket kurve og punktene på innsiden av den, men teoremet gjelder akkurat like godt for mer generelle lukkede begrensede mengder.
Eksistensen av en «innside» og en «utside» for en enkel lukket kurve viser seg å være forbausende vanskelig å bevise: Teoremet om dette har fått navn etter Marie Ennemond Camille Jordan, som i hvert fall var den første som forsto at påstanden trenger et bevis. Om beviset han ga er godt nok, er muligens kontroversielt, men i dag snakker man i hvert fall om Jordans kurveteorem, og en enkel lukket kurve kalles et Jordankurve.
Maple-regnearket jeg brukte er tilgjengelig.
Jeg gjorde resten av avsnitt 13.5, om globale ekstrempunkt: Akkurat som i en variabel er det to typer kandidater for globale ekstrempunkter for en funksjon: Det er de kritiske punktene (hvor begge/alle førsteordens partiellderiverte er null, eller ikke alle eksisterer) og randpunktene. Jeg regnet et eksempel.
Fra avsnitt 13.6 har jeg allerede fortalt om begrepet differensiabilitet (sist fredag). Kun litt om differensialet sto igjen. Jeg brukte det til å estimere nøyaktigheten man får ved å bruke en pendel til å måle tyngdens akselerasjon g, eller om man vil måle den universelle gravitasjonskonstanten slik Henry Cavendish i sin tid gjorde.
Fra avsnitt 13.7 presenterte jeg først kjerneregelen for en funksjon av typen f(u(t),v(t)): Den deriverte av dette uttrykket med hensyn på t tolkes som endringsraten i f når man følger den parametriske kurven (u(t),v(t)). Passende uttrykt kan man formelt få kjerneregelen ved å dividere formelen for differensialet til f med dt. Jeg regnet eksemplet f(x,y)=x2+x2 med x=cos(t), y=sin(t). Den deriverte ble null, som ikke overrasket.
Om vi i stedet betrakter F(u,v)=f(g(u,v),h(u,v)), får vi en formel for de partiellderiverte av F som i prinsipp ikke er noe forskjellig fra formelen i avsnittet foran: For partiellderivasjon med hensyn på u er jo ikke noe annet enn helt ordinær derivasjon, der man passer på at v behandles som en konstant.
Harald Hanche-Olsen 2001-03-13 12:23:45 UTC