Forelesninger - notater i for- og etterkant
Synes du forelesningene er en ørkenvandring?
Men det er da vakkert i ørkenen!
(Men det er farlig og - mye å stikke seg på.)
Synes du forelesningene er en ørkenvandring?
Men det er da vakkert i ørkenen!
(Men det er farlig og - mye å stikke seg på.)
Avsnitt 15.7 fortsatt: Rotasjonsfri og konservative vektorfelt i tre dimensjoner gjenstår.
Avsnitt 15.6: Divergensteoremet - et fundamentalteorem for trippelintegralet.
Avsnitt 15.7 om rotasjonsfri og konservative vektorfelt i tre dimensjoner. For et kontinuerlig deriverbart vektorfelt F definert på et enkeltsammenhengende område er følgende tre krav ekvivalente:
Faktisk er de to første kravene ekvivalente uten av vi legger noe krav på området, og de impliserer det tredje kravet (om F er en gradient så er det tredje kravet bare likhet av annen ordens blandede partiellderiverte for potentialet). Men for at vi skal kunne konkludere tilbake fra det tredje kravet til de to første må vi kreve at definisjonsområdet til F er enkeltsammenhengende: Det vil si at for to veier med samme start- og endepunkt kan alltid den ene deformeres kontinuerlig over i den andre med endepunktene fastholdt, og uten å gå utenfor definisjonsområdet.
Det betyr igjen at det finnes en kontinuerlig funksjon r(s,t) definert på kvadratet gitt ved at s og t begge tilhører intervallet [0,1], slik at r alltid tar verdier i definisjonsområdet til F, og slik at r(0,t) og r(1,t) parametriserer de to veiene, mens r(s,0) og r(s,1) er konstante (lik de felles endepunktene til de to veiene).
Det klassiske eksemplet på et felt som oppfyller de to første kravene men ikke det tredje er F=(-yi+xj)/(x2+y2) som kan beskrives til gradienten til vinkelen i sylinderkoordinater. Definisjonsrområdet er hele rommet unntatt z-aksen, og det er ikke enkeltsammenhengende. Men om vi innskrenker definisjonsområdet ved for eksempel å skjære bort hele halvplanet gitt ved x<0 og y=0, kan vi definere et potensial for F. Merk at dette potensialet har en sprangdiskontinuitet langs halgplanet vi fjernet, så det kan ikke utvides ytterligere.
I det siste kvarteret omtrent startet jeg på avsnitt 15.6 om divergensteoremet. Jeg skrev opp teoremet: Glem nå ikke at normalvektoren skal peke ut av området! Jeg forklarte også hvordan det kan bevises under forutsetning av at området er både x-enkelt, y-enkelt og z-enkelt. Ved å ta de tre komponentene av vektorfeltet hver for seg ser vi at det egentlig er snakk om tre teoremer, og det som handler om z-komponenten av feltet er enklest å bevise for z-enkle områder (og tilsvarende for x- og y-komponentene). Jeg startet til og med på beviset for z-komponenten: Hovedidéen er at denne komponenten gir opphav til et trippelintegral av den partiellderiverte av R med hensyn på z, og skriver vi det integralet med z-integralet innerst kan vi umiddelbart integrere den deriverte og få et flateintegral. Så jobben er å se at dette flateintegralet blir det teoremet påstår.
Avsnitt 15.6 fortsatt: jeg avsluttet beviset for divergensteoremet, og regnet eksempel 1 (side 1006). Jeg utvidet eksemplet ved å integrere eksplisitt over bunn- og endeflatene, og så trekke disse integralene fra svaret i eksemplet for å finne integralet over «taket» på området. Dette er en generelt anvendbar teknikk: Husk at du ikke kan bruke divergensteoremet på andre flater enn de lukkede (slike som er overflaten til et legeme), men ofte kan man lage en lukket flate ved å legge til nye flatestykker, anvende divergensteoremet på omrodet omsluttet av denne flaten, og så trekke fra integralet over de ekstra flatestykkene.
Jeg indikerte også hvordan divergensteoremet vises for legemer som ikke nødvendigvis er både x-, y- og z-enkle, nemlig ved å dele det opp i biter som er det, og så anvende divergensteoremet på hver bit og addere sammen. Der hvor to biter møtes får vi to ekstra flateintegraler - en fra hver bit - men når vi legger dem sammen, faller de bort fordi normalvektoren er motsatt rettet i de to integralene, siden den alltid peker ut av biten den kommer fra. Jeg illustrerte dette ved å skjære en smultring i fire. (Desverre kun en virtuell smultring!)
Jeg utledet varmeledningsligningen fra Jean Baptiste Joseph Fouriers varmeledningslov og prinsippet om energiens bevarelse og divergenssetningen.
Divergensteoremet omtales også gjerne som Johann Carl Friedrich Gauss' teorem, mens andre gjerne gir æren til Mikhail Vasilevich Ostrogradski.
Til slutt sa jeg noen ord om en større sammenheng mellom operatorene grad, curl og div og det faktum at visse sammensetninger av dem er null - og det at de alle har hvert sitt fundamentalteorem. Jeg skal prøve å oppsummere alt dette litt klarere torsdag.
Etter fattig evne prøvde jeg å oppsummere hele pensum, denne gangen i revers: Vi står nå på toppen av et fjell vi har slitt oss opp på og forstår veien opp mye bedre nå som vi kan se oss tilbake. Jeg forsøkte å fremheve at alle de multiple integralene vi har lært er variasjoner over samme tema: De er grenser av Riemannsummer, av og til med en ekstra geometrisk faktor som skyldes parametriseringen - slik sett er faktoren r i formelen for integrasjon i polarkoordinater ikke vesensforskjellig fra lengden av kryssproduktet i formelen for flateintegralet. At curlen til en gradient er null henger nært sammen med at randkurven til en flate er lukket, og dermed ikke har noe endepunkt. På samme måte kan det at divergensen til en curl er null ses i sammenheng med at overflaten til et legeme er lukket, og dermed ikke har noen randkurve. Omvendingen til de to resultatene har viktige forbehold med et geometrisk innhold: Et vektorfelt med curl null er en gradient, men vi kan bare være sikre på dette om vi arbeider i et enkeltsammenhengende område, altså hvis enhver lukket kurve i området er randen til en flate som ligger i området.*(Tilsvarende er et vektorfelt med divergens null en curl, men vi kan bare si det hvis vi arbeider i et område der enhver lukket flate er randen til et legeme som ligger i området. Men dette er en mer komplisert sammenheng, som ikke er pensum. Jeg klarte likevel ikke la være å fortelle det.)
* Vi kan være nødt til å tillate at flaten skjærer seg selv for at dette skal være sant. Tenk på en lukket kurve med en knute på.
Så hvor i all verden kommer definisjonene av curl og divergens fra? Det enkle svaret er at de er slik for at Stokes' teorem og divergensteoremet skal være sanne!
Jeg endte med å si litt om ekstrempunkter, kritiske punkter, randpunkter og Lagranges multiplikatormetode. Og plutselig var tiden ute...
Jeg regnet gjennom det meste av eksamensoppgaven fra våreksamen 2000. Unntak: Oppgave 3, som ligger utenfor pensum i år - og spørsmålet om krumningen i 6a, av samme grunn. Jeg ble nesten ferdig med 7b, og nådde ikke 7c. Poenget skulle være at skjæringskurven C er gitt ved ligningene z=x2+y2 og z=2x-(x2+y2). Og setter vi inn høyresiden fra den første ligningen inn i den andre og rydder, får vi z=x, som viser at C ligger i planet med den ligningen. For oppgave 7c er det nå bare å bruke Stokes' teorem til å skrive om det gitte integralet til et fluksintegral for curl G over den delen av planeet z=x som ligger innenfor C, og det blir et ikke så verst overkommelig integral.
... og avsluttes for vår del med eksamen 14. mai.