Fordypningsprosjekt og diplomoppgaver tilbudt av

Jeg veileder prosjekt innen analyse, spesielt kompleks og harmonisk analyse med anvendelser mot signalbehandling. Det vil være en fordel om en har tatt eller tar kurs i Fourieranalyse og/eller Kompleks analyse. Prosjekter kan tilpasses studentenes interesser og bakgrunnskunnskaper. Jeg vil konkret foreslå følgende prosjekter:

• Med utgangspunkt i artikkelen Emmanuele J. Candes & Michael B. Wakin "People Hearing Without Listening:" An introduction to Compressive Sampling (to appear in IEEE Signal Processing Magazine) skal det gis en oversikt over området "compressive sampling" - motivasjon, bakgrunn, matematiske teknikker, sentrale resultater og anvendelser. Dette oversiktsarbeidet kan følges opp med en diplomoppgave som går mer i dybden innenfor et mer spesialisert tema.
• Det har i de senere år vært mye forskning rundt spørsmålet om det er mulig å konstruere en "perfekt linse". Mer presist dreier det seg om å konstruere kunstige materialer, såkalte metamaterialer, som tillater negativ brytning og som kan brukes til å lage linser som gir mye bedre oppløsning enn det som er mulig med klassiske materialer. Et interessant matematisk problem knyttet til dette området er behandlet i artikkelen The Perfect Lens on a Finite Bandwidth, som er et samarbeid mellom Johannes Skaar ved Institutt for elektronikk og telekommunikasjon, Øyvind Lind-Johansen (diplomstudent 2005/2006) og undertegnede. Prosjektet vil gå ut på å sette seg inn i den fysiske teorien for metamaterialer, det matematiske grunnlaget for denne teorien og å studere ovenstående artikkel med sikte på å kunne håndtere relaterte optimeringsproblemer.

Jeg har kontakt med miljøer ved Det medisinske fakultet/SINTEF innen bioinformatikk og medisinsk ultralyd, som vil kunne tilby interessante prosjektoppgaver:

• Oppgaver i bioinformatikk gitt av Finn Drabløs ved Institutt for kreftforskning og molekylær medisin, NTNU. Gruppen arbeider blant annet med egenskaper knyttet til genregulering og genomstruktur (organisering). Genomene inneholder en rekke signaler som vi arbeider med å identifisere og analysere, og vi kan tilby relevante oppgaver knyttet til dette. Det er økende evidens for at genomene danner komplekse tredimensjonale strukturer der de aktive områdene i kromosomene samlokaliseres og reguleres. Vi arbeider med å identifisere slike områder ved å se på stor-skala egenskaper for kromosomene. Det vil være aktuelt å bruke ulike metoder og datasett (både teoretiske og eksperimentelle) til å se på egenskaper knyttet til global organisering av samregulerte gen. Har samregulert gen tendens til å samlokaliseres i genomet? Er det mulig å se long-range korrelasjoner mellom samregulerte gen? Er det likheter i organiseringen mellom ulike kromosomer? Oppgaven vil i stor grad ha karakter av utforskende data-analyse. Det er også mulig å gi oppgaver knyttet til motivoppdaging og motivrepresentasjon. Gener reguleres av proteiner som gjenkjenner spesifikke motiver i DNA. Slike motiver beskrives vanligvis av en matrise som gir sannsynligheten for hver av de 4 basene i DNA (A,C,G,T) i hver posisjon i motivet, og mulige regulatoriske motiver identifiseres ved å beregne log-odds score for subsekvenser ved hjelp av slike motivmatriser. Men dette gir ofte mange falske positive treff. Det er derfor interessant å utvikle bedre modeller for motiver i DNA. Dette kan være modeller som tar hensyn til andre viktige egenskaper for et motiv, som for eksempel mulige korrelasjoner mellom enkeltposisjoner i motivet. Det er også interessant å utvikle bedre modeller for hvordan man finner signifikante posisjoner i en sekvens, basert på en gitt motivrepresentasjon.

Oppgaver i medisinsk ultralyd gitt av Jon Harald Kaspersen ved SINTEF UNIMED. To konkrete oppgaver kan være aktuelle:

• Sannsynlighet for ruptur av utposet blodåre. Pasienter som har en utposning av hovedpulsåren gjennom magen behandles i dag ved operasjon hvis sannsynligheten for at pulsåren skal sprekke (ruptur) er stor. Sannsynligheten for at åren skal sprekke, bestemmes i dag ved at en måler den største diameteren av blodåren over tid (noen måneder). Hvis diameteren er større enn 5-5.5cm og økende opereres pasienten. Målingene foregår ved bruk av ultralyd. Sannsynligheten for ruptur bestemmes altså ved hjelp av enkle målinger. Dette kan gjøres bedre ved at en analyserer ultralydsopptakene bedre. F.eks. kan man lage en algoritme som i sann tid analyserer ultralydsbildene med hensyn på strekk i blodåreveggen, noe som innbefatter å lokalisere blodåreveggen i ultralydsbildene og følge dens bevegelse i sann tid. Utvikling av en sann tids metode som kalkulerer strekk av blodåreveggen og sammenfaller dette med hva en blodåre tåler vil gjøre omtalte diagnostikk sikrere.

• Sanntids oppbygning av overflatemodeller basert på ultralydsavbildning: For at en lege/kirurg/radiolog skal kunne danne seg et bilde av anatomien rundt en lesjon (f.eks. en kreftsvults), må vedkommende ofte etterprosessere bildedata. Ofte innbefatter dette å segmentere ut forskjellige organer rundt lesjonen og visualisere dette tre-dimensjonalt (f.eks. for å se hvordan viktige blodårer ligger i forhold til en svults slik at en unngår å skade disse under en operasjon). For å stille en raskere diagnose og for at lege/kirurg/radiolog raskt skal kunne danne seg et bilde av anatomien er det ønskelig å trekke ut essensiell informasjon fra en strøm av ultralydsbilder. Dette kan da bety at en må finne overflater (til en svults) eller blodårer i ultralydsbildene i reell tid og samtidig bygge opp en tre-dimensjonal representasjon av denne informasjonen.