\documentclass[a4paper,norsk,11pt]{interaktiv}

% Importerte pakker
\usepackage{float}
\restylefloat{figure}
\usepackage{ifluatex}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[parfill]{parskip}    		% Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}
\usepackage{url}
\usepackage[american]{circuitikz}


\ifluatex
  \usepackage{fontspec}
  \setmainfont{Calibri}
  \usepackage{unicode-math}
  \setmathfont{Cambria Math}
\else
  \usepackage[utf8]{inputenc}
\fi

% Underfigurer
\renewcommand{\thesubfigure}{(\arabic{subfigure})}

% Overskrift
\emnekode{ISTA1001/1002/1003}
\emnenavn{Statistikk}
\title{Interaktiv forelesning - Viktige sannsynlighetsmodeller II}
%\author{Fourieranalyse}


% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{d}}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

\begin{oppgave}{1}
Ifølge \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution} er antall mål i en fotballkamp poissonfordelt,
og i en typisk VM-kamp er $\lambda=2.5$.
\begin{itemize}
\item[a)] Finn sannsynligheten for for at det blir ett mål i en typisk VM-kamp. 
\item[b)] Finn sannsynligheten for at det blir mål i en typisk VM-kamp. \\[5pt]
\end{itemize}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Antall tankskip som ankommer en gitt havn en dag er poissonfordelt med $E(X)=2$.
Havnen kan betjene tre skip samtidig, 
og kommer det flere skip,
sendes de videre til neste havn. 
\begin{itemize}
\item[a)] Hva er sannsynligheten for at et eller flere skip på sendes videre en gitt dag?
\item[b)] Hva er forventet antall betjente skip per dag?
\item[c)] Hvor stor kapasitet må havnen bygges ut med om det skal være $90 \%$ sannsynlighet for å betjene alle skip som ankommer en gitt dag?\\[5pt]
\end{itemize}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Antall trykkfeil $N$ i et manuskript på $s$ sider er poissonfordelt med typisk to feil per side.
\begin{itemize}
\item[a)] Skriv opp uttrykket for sannsynligheten $P(N=n)$ og finn sannsynligheten for flere enn ti feil i et åtte siders dokument..
\item[b)] Hva er sannsynligheten for at de tre første sidene er feilfrie?
\end{itemize}
\end{oppgave}

%
%\begin{oppgave}{4}
%Levetiden til en bestemt diode er eksponensialtfordelt med parameter $\lambda$. 
%To av disse er parallellkoblet i en krets, 
%og kretsen virker så lenge en av diodene virker. 
%\begin{itemize}
%\item[a)] Finn fordelingen til levetiden til kretsen. 
%\item[b)] Finn kretsens forventede levetid.
%\end{itemize}
%\end{oppgave}
%\begin{center}
%	\begin{circuitikz}
%		\draw  (0,1) to (0,3) to [D] (4,3) to (4,1);
%                 \draw  (0,1) to [D] (4,1);
%                 \draw  (-1,2) to (0,2);
%                 \draw  (4,2) to (5,2);
%	\end{circuitikz}
%	
%%	\begin{circuitikz}
%%		\draw (1.1,1) to [short, o-] (0,1) to [R = $R$] (0,4) to[C=$C$] (3,4) to [L = $L$] (3,1) to  [short, -o] (1.9,1);
%%		\draw (1.5, 1) node [below] {$v(t)$};
%%	\end{circuitikz}
%\end{center}


\begin{oppgave}{4}
En foreleser regner med jevne mellomrom feil på tavlen.
Vi antar at dette kan modelleres ved en poissonprosess, og at 
og tiden $T$ (i minutter) mellom hver feil er eksponensialfordelt med $\lambda=1/10$.
\begin{itemize}
\item[a)] Finn forventet tid til første feil. 
\item[b)] Finn sannsynligheten for at han klarer seg i over ti minutter uten å regne feil.
\item[c)] Han har klart seg i fem minutter fra start uten å regne feil. 
Hva er sannsynligheten for at han nå klarer seg et kvarter ut i forelesningen uten å regne feil?
\item[d)] Hva er sannsynligheten for at han regner feil mindre enn tre ganger på en 45 minutters forelesning?
\end{itemize}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Et rifleløps levetid $T$ (i sekunder) er eksponensialfordelt, 
med forventet levetid på 3 sekunder.
\begin{itemize}
\item[a)] Finn sannsynlighetstetthetsfunksjonen.
\item[b)] Finn sannsynligheten for at løpet lever i mer enn 5 sekunder.
\end{itemize}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{T}
Vis at 
\begin{itemize}
\item[a)] poissonsannsynlighetene summerer til en. 
\item[b)] poissonfordelingen har forventning $\lambda t$. 
\end{itemize}
\end{oppgave}



\end{document}