\documentclass[a4paper,norsk,11pt]{interaktiv}

% Importerte pakker
\usepackage{float}
\restylefloat{figure}
\usepackage{ifluatex}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage[parfill]{parskip}    		% Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
\usepackage{graphicx}


\ifluatex
  \usepackage{fontspec}
  \setmainfont{Calibri}
  \usepackage{unicode-math}
  \setmathfont{Cambria Math}
\else
  \usepackage[utf8]{inputenc}
\fi

% Underfigurer
\renewcommand{\thesubfigure}{(\arabic{subfigure})}

% Overskrift
\emnekode{ISTA1001/1002/1003}
\emnenavn{Statistikk}
\title{Interaktiv forelesning - Estimering}
%\author{Fourieranalyse}


% Nye kommandoer
\newcommand{\dee}{\mathop{}\!{d}}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle





\begin{oppgave}{1}
I Norge er promillegrensen for bilkjøring 0.2. 
I en kontroll ble en bilfører målt med et måleapparat. 
Målingene kan antas normalfordelte med $\mu=$ førerens faktiske promille, 
og $\sigma=0.044$. 
\begin{itemize}
\item[a)] Finn sannsynligheten for at promillemålingen hans havner i intervallet $[0.13,0.31]$, 
dersom vi antar at mannens promille er 0.2.
\item[b)] Politiet måler promillen til 0.22. Finn et $95\%$-konfidensintervall for den faktiske promillen. 
\item[c)] Politiet måler på nytt, men nå tar de gjennomsnittet av fem målinger, og får $\overline x=0.22$.  Finn et $95\%$-konfidensintervall den faktiske promillen. \\[-7pt]
\end{itemize}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Et bilblad tester en ny bil, 
der motoreffekten påstås å være 150 hestekrefter.
Motoreffekten måles i fem uavhengige målinger, 
som antas normalfordelte.
De fem målingene er 147.3, 152.9, 148.1, 149.0 og 150.6 hestekrefter. 
Finn et $90\%$ konfidensintervall for motoreffekten. \\[-7pt]
\end{oppgave}


%\begin{oppgave}{3}
%Vi har to uavhengige stokastiske variable, $X$ og $Y$. 
%De er binomisk fordelte med $n$ forsøk,
%og sannsynlighetene er henholdsvis $p$ og $2p$. 
%\begin{itemize}
%\item[a)] Anta $n=12$, $p=0.2$. Beregn $P(Y\geq 4|X \leq 3)$ og $P(X+Y\leq 1)$.
%\item[b)] Anta at $p$ ukjent, og skal estimeres med en av estimatorene 
%\[
%\hat{p}=\frac{X+Y}{2n}, \quad \hat{p}=\frac{X+Y}{3n} \quad\text{eller} \hat{p}=\frac{X}{2n}+\frac{Y}{4n}.
%\]
%Hvilken vil du foretrekke?
%\end{itemize}
%\end{oppgave}


\begin{oppgave}{3}
Spark i Vei AS leier ut elsparkesykler, og sliter med at sparkesyklene de kjøper har en bestemt produksjonsfeil.
Spark Hardt AS, som produserer syklene, påstår at $4\%$ av syklene har feil, 
men i en test Spark i Vei AS har gjort, 
hadde hele 12 av 200 sykler feil. 
Mellomlederne i Spark i Vei AS krangler mye med Spark Hardt AS om hvor stor andel av syklene som har denne feilen. 
\begin{itemize}
\item[a)] 
Finn et $95\%$ konfidensintervall for feilprosenten. 
\item[b)] Hvis vi antar at Spark i vei testet flere sykler, men alltid kom fram til den samme feilprosenten, hvor mange sykler måtte de testet dersom Spark Hardts påståtte feilprosent skulle falt utenfor konfidensintervallet?\\[-7pt]
\end{itemize}
\end{oppgave}

%\begin{oppgave}{4}
%En gang i 1992 slo Norge San Marino 10-0 i en fotballkamp.
%Finn et $95\%$ konfidensintervall for målraten i fotballkamper mellom disse landene dersom vi antar at dette er en Poissonprosess.\\
%\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Thomas har arvet en gullbarre etter besteforeldrene sine som han ønsker å selge. Gullbarren er av rent gull og har vekten $\mu$, målt i gram. Før Thomas selger gullbarren ønsker han å sikre seg at han selger den for en korrekt pris og bestemmer seg derfor for å måle vekten til gullbaren på to måter.

Først bruker Thomas sin egen kjøkkenvekt. Han veier gullbarren tjue ganger og tar gjennomsnittet av målingene. Anta at veiingene $X_i$ er normalfordelte stokastiske variable med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik 1 gram. 

Deretter går han til en forhandler for å måle vekten profesjonelt. La $Y$ være vekten målt hos forhandleren, og anta at $Y$ er normalfordelt med forventningsverdi μ og standardavvik 0.5 gram.
For å estimere den sanne vekten $μ$ til gullbarren vil Thomas sammenligne fire
ulike estimatorer
\[
\hat{\mu}=Y, \qquad \hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{20}X_i}{20},  \qquad\hat{\mu} = \frac{1}{2}\left(Y+ \frac{\sum_{i=1}^{20}X_i}{20}\right) \qquad \text{og} \qquad \hat{\mu} = \frac{Y+\sum_{i=1}^{20}X_i}{21}.
\]
Hvilken av disse bør han velge?\\[-7pt]
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{T}
Vis at utvalgsvariansen 
\begin{equation*}
S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline X\right)^2}{n-1}
\end{equation*}
er en forventningsrett estimator for $\sigma^2$.
\end{oppgave}

\end{document}