Annen øving for MA1301-Tallteori, 6/9-2005

Oppgavene hentes fra læreboken og fra tidligere eksamensoppgaver. I tillegg er det noen ekstraoppgaver som er skrevet helt ut.

Fra boken, Problems 1.2 side 10-12: 1,3,10.
Problems 2.1, side 19-20: 2,3,8.
For (mye) mer om Catalan-tallene fra oppgave 10, se Catalan addendum på Richard Stanleys internettside
http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/

Eksamen 3/12-1997: Oppgave 1): La $a$ være et helt tall. Vis at et av tallene

$$a-2,\,a,\,a+2$$

er delelig med 3.

Ekstraoppgave om deling og desimalutvikling.

Rasjonale tall har en spesiell desimalutvikling. Desimalutviklingen er måten vi skriver tallet på i titallsystemet, f.eks.

$$\frac{1}{2}=0,5000\cdots,\,\,\frac{1}{3}=0,333333\cdots,\,\, \frac{25}{13}=1,9230769230769\cdots$$

I det siste tallet gjentas sifrene $230769$ om igjen og om igjen uendelig mange ganger. Det er dette som kjennetegner rasjonale tall, etter litt innledende ``rusk'' får vi noen siffer som gjentas. I de tre eksemplene er det altså $0,3,230769$ henholdsvis.
Vi regner ut desimalutvikling på samme måte som vi deler med divisjonsalgoritmen, bortsett fra at vi ikke stopper.

Beregn nok ledd til at du kan gjette desimalutviklingen til følgende rasjonale tall:

$$\frac{2}{9},\,\frac{32}{99},\,\frac{142857}{999999},\,\frac{428571}{999999},\,\frac{285714}{999999}$$

Jon Eivind Vatne