Sjette øving for MA1301-Tallteori, 4/10-2005

Oppgavene hentes fra læreboken og fra tidligere eksamensoppgaver. I tillegg er det noen ekstraoppgaver som er skrevet helt ut.

Fra boken, Problems 3.3, side 59-61: 1, 8, 10, 26.

Eksamen 26/5-2003, Oppgave 1.

Eksamen 5/12-2003, Oppgave 1.

Ekstraoppgave: La $a$ og $b$ være relativt primiske positive heltall. Vis at om $a+b=n+1$, så er $\frac{n!}{a!b!}$ et heltall. Hint: bruk at det finnes heltall $x,y$ slik at $1=ax+by$, og se på hva som skjer når $\frac{n!}{a!b!}$ ganges med $a$ eller $b$. Vis også at om vi bare antar at $a$ og $b$ er positive heltall, så er $gcd(a,b)\frac{n!}{a!b!}$ et heltall.

Ekstraoppgave: Definer følgen $a_n$ rekursivt ved $a_1=1$ og $a_{n+1}=\sqrt{3a_n+4}$ for $n\geq 1$. Vis ved induksjon at $a_n<4$ for alle $n\geq 1$.

Merknad: dette er siste øving før midtsemesterprøven. Den er ment å være mer omfattende enn en vanlig øving, og derfor også gi en rettesnor for eget arbeid i forkant av midtsemesterprøven.

Jon Eivind Vatne