Eksamen: 30. mai.

Hjelpemidler til eksamen:

W. Cheney and D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, 5th edition eller 4th edition. Boka skal være uten egne notater.

Godkjent kalkulator.

Pensum:

Kap. 3.1, 3.2 og notat om fikspunktiterasjoner.

Kap. 4.1, bare s.140-144 (til Newton Form) og kap. 4.2, s.169-174, (til Teorem 3).

Kap. 4.3 minus Richardson-ekstrapolasjon (s.182-186).

Kap. 5 og 6.1 minus flerdimensjonal integrasjon (s.215-216). 5.1 antas kjent fra før.

Kap. 7.1,7.2, 8.1 (minus s.323-331)), 8.2 og 8.4.

Kap. 9.1 og 9.2.

Kap. 10.0-10.3, 11.1-11.3. Notat om konvergens.

Kap. 14.

Kap. 15.0-15.3, minus s.647-649 (Finite Element Methods)

Øvinger og løsningsforslag.

Læringsmål:

Ikke-lineære ligninger.

Pensum: Kap. 3.1, 3.2 og notat om fikspunktiterasjoner.

Øvinger: nr. 2 og 3.

Du bør:

• Vite hvordan en utvikler og anvender halveringsmetoden, Newtons metode og fikspunktiterasjoner for skalare ligninger.
• Gjøre konvergens- og feilanalyse av slike metoder for skalare problemer.
• Anvende Newtons metode for systemer av ligninger.
• Implementere Newtons metode og fikspunkt-iterasjoner i Matlab.

Polynominterpolasjon.

Pensum: Kap. 4.1, 140-144 til Newton Form og kap. 4.2, s.169-174, til Teorem 3.

Øving nr. 4.

Du bør:

• Kunne regne ut et interpolasjonspolynom vha. Lagrange-interpolasjon.
• Vite hvordan feil-formlene skal brukes.
• Vite hva som gjør Chebyshev noder attraktive, og hvordan man finner dem på et vilkårlig interval.
• Bruke Matlab's kommandoer Polyval og polyfit .

Spline interpolasjon

Pensum: Kap. 9.1 og 9.2.

Øving nr. 5.

Du bør:

• Vite hva en spline av grad k er, og hva den brukes til.
• Vite hva en naturlig kubisk spline er, og hva som gjør den attraktiv.
• Finne en spline, forutsatt få interpolasjonspunkter og gitte tilleggsbetingelser.
• Bruke Matlab-kommandoen spline .

Numerisk derivasjon

Pensum: Kap. 4.3 minus Richardson-ekstrapolasjon (s.182-186).

Øving nr. 6.

Du bør:

• Kunne approksimasjonsformlene for f'(x) og f''(x) på rams.
• Utvikle numeriske derivasjonsformler vha. ubestemte koeffisienters metode.
• Finne feilen in derivasjonsformlene vha. Taylor-utvikling eller vha. derivasjon av interpoasjonsformler.
• Forstå hvorfor avrundingsfeil kan ødelegge approksimasjonene (se. kap. 2.2)

Numerisk integrasjon

Pensum: Kap. 5 og 6.1 minus flerdimensjonal integrasjon (s.215-216). 5.1 antas kjent fra før.

Øving nr. 7.

Du bør:

• Kunne bruke sammensatt trapes og Simpson, samt Romberg-algoritmen.
• Beherske bruk av feilformlene for trapes og Simpson.
• Utlede feilformelen for trapes (og tilsvarende).
• Forstå hvordan adaptiv Simpson fungerer, og hva som menes med en adaptiv algoritme.
• Bruke Matlabs integrasjonsrutiner.

Numerisk lineær algebra

Pensum: Kap. 7.1,7.2, 8.1 (minus s.323-331)), 8.2 og 8.4.

Øving nr. 8 og 9.

Du bør:

• Kunne utføre en Gauss-eliminasjon med og uten skalert pivotering, samt regne ut LU-faktoriseringen av en matrise (hvis den finnes).
• Løse lineære ligningssystemer vha. av Jakobi, Gauss-Seidel og SOR iterasjoner.
• Finne egenverdier og tilhørende egenvektorer vha. potensmetoden (o.lign.)
• Kjenne begrepene kondisjonstall, norm, spektralradius, diagonaldominans og symmetrisk positiv definit.
• Kunne bestemme om en iterativ teknikk konvergerer.

Ordinære differensialligninger (ODL)

Pensum: Kap. 10.0-10.3, 11.1-11.3. Notat om konvergens.

Øving nr. 10 og 11.

Du bør:

• Kunne utføre et skritt med en gitt Runge-Kutta metode eller en flerskrittsmetode på et system av ODL.
• Skrive om høyere ordens ligninger til et system av første ordens ligninger. Tilsvarende bør du kunne skrive om en ikke-autonom ligning til et system av autonome ligninger.
• Forstå hvordan feilestimering og skrittlengdekontroll fungerer for Runge-Kutta metoder.
• Utvikle enkle metoder selv.
• Bruke MATLABs ODL-løsere, f.eks. ode23 og ode45.

To punkts randverdiproblemer

Pensum: Kap. 14.

Du bør:

• Vite hvordan en utfører skytemetoden for lineære og ikke-lineære ligninger.
• Vite hvordan en løser et lineært problem med en differansemetode.

Partielle differensialligninger

Pensum: Kap. 15.0-15.3, minus s.647-649 (Finite Element Methods)

Øving nr. 11

Du bør:

• Vite forskjellen på en hyperbolsk, parabolsk og en elliptisk ligning.
• Kunne sette opp et endelig differanseskjema for en gitt ligning, med gitte randbetingelser.
• Kunne løse dette (for hånd dersom det er svært få diskretisingspunkter, ellers i MATLAB).
• Forstå hvorfor ekplisitte metoder for parabolske ligninger kan få stabilitetsproblemer.