Nøkkelbegreper — uke 39

  • Delvis integrasjon
  • Delbrøkoppspalting
  • Invers substitusjon
  • Uegentlige integral

Delvis integrasjon

Produktregelen i «revers».

\[ \int u'(x) v(x)\mathop{}\! dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\mathop{}\! dx\]

Integrasjon av rasjonale funksjoner

For å integrere en rasjonal funksjon

\[R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]

kan vi gjøre som følger:

  1. Hvis \(\operatorname{grad} P \geq \operatorname{grad} Q\) utfører vi polynomdivisjon for å kunne skrive \(R(x)\) som

    \[R(x) = P_1(x) + \frac{P_2(x)}{Q(x)}\]

    der \(\operatorname{grad} P_2 < \operatorname{grad} Q\). Hvis \(\operatorname{grad} P < \operatorname{grad} Q\) lar vi det stå.
  2. Faktoriser \(Q(x)\).
  3. Delbrøkoppspalt
  4. Regn ut.

Algebraens fundamentalteorem

En konsekvens av algebraens fundamentalteorem er at ethvert polynom med reelle koeffisienter kan faktoriseres i faktorer \(x - a\) og irredusible 2. gradspolynomer som for eksempel \(x^2 + 1\).

\[\begin{align*} Q(x) &= K (x - a_1)^{m_1} \cdots (x - a_j)^{m_j}\\ &\quad \cdot (x^2 + b_1 x + c_1)^{n_1} \cdots (x^2 + b_k x + c_k)^{n_k} \end{align*}\]

Delbrøkoppspalting

  1. For hver faktor \((x - a)^m\) av \(Q(x)\) vil delbrøkoppspaltingen av \(P(x)/Q(x)\) bestå av

    \[\frac{A_1}{x - a} + \cdots + \frac{A_m}{(x - a)^m}.\]

  2. For hver faktor \((x^2 + bx + c)^n\) av \(Q(x)\) vil delbrøkoppspaltingen av \(P(x)/Q(x)\) bestå av

    \[\frac{B_1 x + C_1}{x^2 + bx + c} + \cdots + \frac{B_n x + C_n}{(x^2 + bx + c )^n}.\]

Invers substitusjon

For å regne ut \[ \int_a^b f(x)\; dx\] kan det lønne seg å innføre \(x = g(u)\) slik at \[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \int_{x = a}^{x = b} f(g(u)) \cdot g'(u)\mathop{}\! du.\]

Uegentlig integral

Vi er interessert i å regne ut \[ \int_a^b f(x) \mathop{}\! dx\] når

  1. \( a = -\infty\) og/eller \(b = \infty\),
  2. \(f\) er kun kontinuerlig på \([a,b)\), \((a,b]\) eller \((a,b)\).

Type 1 uegentlig integral

\[\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{b\to \infty} \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]

Type 2 uegentlig integral

\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{t\to a+} \int_t^b f(x)\mathop{}\! dx\]

Teorem 6.3

La \(f,g \colon [a,\infty) \to \mathbb{R}\) være to kontinuerlige, positive funksjoner og anta at \(f(x) \geq g(x)\) for alle \(x\in [a,\infty)\).

  1. Hvis \(\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx\) konvergerer, så gjør \(\int_a^\infty g(x)\mathop{}\! dx\) det også.
  2. Hvis \(\int_a^\infty g(x)\mathop{}\! dx\) divergerer, så gjør \(\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx\) det også.