Nøkkelbegreper — uke 39
- Delvis integrasjon
- Delbrøkoppspalting
- Invers substitusjon
- Uegentlige integral
Delvis integrasjon
\[ \int u'(x) v(x)\mathop{}\! dx
= u(x)v(x) - \int
u(x)v'(x)\mathop{}\! dx\]
\[ \int_a^b u' v\mathop{}\! dx = [u(x)v(x)]^b_a - \int_a^b uv'\mathop{}\! dx\]
Integrasjon av \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)
- \(\operatorname{grad} P
\geq \operatorname{grad} Q\):
Polynomdivisjon.
\[\frac{P(x)}{Q(x)}
= P_1(x) +
\frac{P_2(x)}{Q(x)}\qquad\text{der
\(\operatorname{grad} P_2 <
\operatorname{grad}
Q\).}\]
- \(\operatorname{grad} P <
\operatorname{grad} Q\):
Delbrøksoppspaltning
- Faktoriser: \(Q(x)=\cdots(x-a_i)^{k_i}\cdots(x^2+b_jx+c_j)^{k_{j}}\dots\)
- \(Q=\cdots(x - a)^m\cdots \quad\Rightarrow\quad \frac PQ= \dots+\frac{A_1}{x - a} + \cdots + \frac{A_m}{(x - a)^m}+\dots\)
- \(Q=\cdots(x^2 + bx
+ c)^n\cdots \quad\Rightarrow\quad \frac PQ=\dots\frac{B_1 x + C_1}{x^2 + bx + c} + \cdots + \frac{B_n x + C_n}{(x^2 + bx + c )^n}\dots\)
- Integrer (substitusjon)
Invers substitusjon
\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \int_{x = a}^{x = b} f(g(u)) \cdot g'(u)\mathop{}\! du\]
Uegentlig integral
Type 1: uendelig intergrasjonsintervall
\[\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx \overset{DEF}{=} \lim_{b\to \infty} \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]
Type 2: \(f\)
diskontinuerlig i \(x=c\)
\[\int_c^b f(x)\mathop{}\! dx \overset{DEF}{=} \lim_{a\to c+} \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]
Sammenlikning av integraler
Når \(0\leq f\leq
g\) kontinuerlige, vil
\[\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^b
g(x)\mathop{}\! dx,\]
og
- \(\ \int_a^b g<\infty\quad\Rightarrow\quad\int_a^b
f<\infty\) + konvergent,
- \(\ \int_a^b
f=\infty\quad\Rightarrow\quad\int_a^b g=\infty\)