De reelle tallene fyller «hull» i mengden av rasjonale tall slik som \(\ \sqrt 2, e, \pi \ \) og så videre.
\[ \begin{align} \mathbb{R} &= \{\text{desimaltall med et endelig}\\ &\qquad \text{eller uendelig antall desimaler}\} \end{align}\]
Vi sier at \(\ f(x) \) nærmer seg \(\ L \ \) som grenseverdi når \(\ x\ \) går mot \(\ a\), \[ \lim_{x\to a} \ f(x) = L,\] hvis det for ethvert tall \(\ \epsilon > 0\ \) finnes et tall \(\ \delta > 0\ \) slik at \[ | \ f(x) - L \ | < \epsilon\] når \(\ 0 < |x - a| < \delta\). |
Anta at
\[ \lim_{x\to a} \ f(x) = L \quad \text{og} \quad \lim_{x\to a} \ g(x) = M.\]
Da gjelder
Hvis \(\ f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) holder for alle \(\ x\ \) i et åpent intervall som inneholder \(x_0\), men ikke nødvendigvis i \(x = x_0\), og \[\lim_{x\to x_0} \ f(x) = L \quad \text{og} \quad \lim_{x\to x_0} \ h(x) = L\] så er \[\lim_{x\to x_0} \ g(x) = L.\] |
|
Anta at \( \ f(x)\) er definert på intervallet \( \ (a - c, a + c)\).
Vi sier at \( \ f\) er kontinuerlig i \(x = a\) dersom
\[\lim_{x\to a} \ f(x) = f(a).\]
Anta at \(\ f(x) \) er kontinuerlig på \(\ [a,b]\). Da fins det tall \(\ c, d\ \) i \(\ [a,b]\ \) slik at \[ f(c) \leq f(x) \leq f(d)\] for alle \(\ x \in [a,b]\). |
|
Anta at \( \ f(x)\) er kontinuerlig på \( \ [a,b]\). Hvis \( \ f(a) \neq f(b)\) og \( s\) ligger mellom \(\ f(a)\) og \(\ f(b)\), så finnes det et tall \(\ c\), der \( a < c < b\), slik at \[f(c) = s.\] |
|