TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

Oversiktsforelesning 1

Kalkulus

  • Kontinuitet, konvergens, og integral- og differensialregning
  • Svært viktig matematisk byggverk
  • Grunnlaget for moderne fysikk, naturvitenskap og teknologi
  • Kalkulus ble i hovedsak utviklet fra slutten av 1600-tallet og nådde sin nåværende form på slutten av 1800-tallet

Nøkkelbegreper — uke 34

  • Kompletthetsegenskapen for reelle tall
  • Grenseverdier
  • Kontinuitet
  • Ekstremalverdisetningen
  • Skjæringssetningen

Kompletthetsegenskapen for reelle tall

De reelle tallene fyller «hull» i mengden av rasjonale tall slik som \(\ \sqrt 2, e, \pi \ \) og så videre.

\[ \begin{align} \mathbb{R} &= \{\text{desimaltall med et endelig}\\ &\qquad \text{eller uendelig antall desimaler}\} \end{align}\]

Grenseverdi

Vi sier at \(\ f(x) \) nærmer seg \(\ L \ \) som grenseverdi når \(\ x\ \) går mot \(\ a\),

\[ \lim_{x\to a} \ f(x) = L,\]

hvis det for ethvert tall \(\ \epsilon > 0\ \) finnes et tall \(\ \delta > 0\ \) slik at

\[ | \ f(x) - L \ | < \epsilon\]

når \(\ 0 < |x - a| < \delta\).

Regneregler for grenseverdier

Anta at

\[ \lim_{x\to a} \ f(x) = L \quad \text{og} \quad \lim_{x\to a} \ g(x) = M.\]

Da gjelder

  1. \(\lim\limits_{x\to a} \ [ \, f(x) \pm g(x)] = L \pm M\)
  2. \(\lim\limits_{x\to a} \ f(x)g(x) = LM\)
  3. \(\lim\limits_{x\to a} \ \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac LM\ \) forutsatt at \(\ M \neq 0\).

Skviseregelen

Hvis \(\ f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) holder for alle \(\ x\ \) i et åpent intervall som inneholder \(x_0\), men ikke nødvendigvis i \(x = x_0\), og

\[\lim_{x\to x_0} \ f(x) = L \quad \text{og} \quad \lim_{x\to x_0} \ h(x) = L\]

så er

\[\lim_{x\to x_0} \ g(x) = L.\]

Kontinuitet

Anta at \( \ f(x)\) er definert på intervallet \( \ (a - c, a + c)\).

Vi sier at \( \ f\) er kontinuerlig i \(x = a\) dersom

\[\lim_{x\to a} \ f(x) = f(a).\]

Ekstremalverdisetningen

Anta at \(\ f(x) \) er kontinuerlig på \(\ [a,b]\).

Da fins det tall \(\ c, d\ \) i \(\ [a,b]\ \) slik at

\[ f(c) \leq f(x) \leq f(d)\]

for alle \(\ x \in [a,b]\).

Skjæringssetningen

Skjæringssetningen

Anta at \( \ f(x)\) er kontinuerlig på \( \ [a,b]\).

Hvis \( \ f(a) \neq f(b)\) og \( s\) ligger mellom \(\ f(a)\) og \(\ f(b)\), så finnes det et tall \(\ c\), der \( a < c < b\), slik at

\[f(c) = s.\]