TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

Oversiktsforelesning 2

Nøkkelbegreper — uke 35

  • Definisjonen til den deriverte
  • Regneregler for derivasjon
  • Derivasjon av trigonometriske funksjoner
  • Lineær tilnærming
  • Sekantsetningen

Definisjonen til den deriverte

Den deriverte til en funksjon \(f(x)\) er en funksjon \(f'(x)\) gitt ved

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}h = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\]

i alle punkter \(a\) der grenseverdien eksisterer.

Regneregler for derivasjon

Anta at \(f(x)\) og \(g(x)\) er deriverbare i punktet \(a\) og at \(c\) er en konstant. Da gjelder:

  1. Linearitet:
    • \((cf)' (a) = c f'(a)\)
    • \((f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)\)

  2. Produktregelen: \((fg)'(a) = f'(a) g(a) + f(a) g'(a)\)

  3. Kvotientregelen: \(\left(\dfrac{f}g\right)'(a) = \dfrac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{g(a)^2}\), forutsatt at \(g(a) \neq 0\)

  4. Kjerneregelen: Anta at \(g(x)\) er deriverbar i \(a\) og at \(f(x)\) er deriverbar i \(g(a)\). Da er den sammensatte funksjonen \(h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x))\) deriverbar i \(a\), og \(h'(a) = f'(g(a)) g'(a)\).

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

  • \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \sin x = \cos x\)

  • \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \cos x = -\sin x\)

  • \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \tan x = \dfrac1{\cos^2 x} = \sec^2 x\)

Lineær tilnærming

\[ \Delta y \approx \mathop{}\! dy = f'(x) \mathop{}\! dx\]

Sekantsetningen

Sekantsetningen

Anta at \(f(x)\) er kontinuerlig på \([a,b]\) og deriverbar på \((a,b)\). Da finnes det et punkt \(c\in (a,b)\) slik at

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]