TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019
Oversiktsforelesning 3
Nøkkelbegreper — uke 36
- Implisitt derivasjon
- Koblede hastigheter
- Ubestemte uttrykk og l'Hôpitals regel
- Globale og lokale ekstremalverdier
Implisitt derivasjon
Ligningen
\[ F(x,y) = 0 \]
definerer \(y\) implisitt som én eller flere funksjoner av \(x\).
Vi kan finne
\[ \frac{\mathop{}\! dy}{\mathop{}\! dx}\]
ved hjelp av implisitt derivasjon.
Koblede hastigheter
To hastigheter som er sammenkoblet på en slik måte at vi kan regne oss fra den ene (den kjente) til den andre (den ukjente) kalles koblede hastigheter.
Ubestemte uttrykk
| Type | Eksempel |
|---|---|
| « \(0/0\) » | \( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} \) |
| « \(\infty/\infty\) » | \( \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + x}{3x^2 + 2} \) |
| « \(0 \cdot \infty\) » | \( \lim\limits_{x \to \infty} x \sin \dfrac1x \) |
| « \(\infty - \infty\) » | \( \lim\limits_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x\right) \) |
| « \(0^0\) » | \( \lim\limits_{x \to 0+} x^{\sqrt x} \) |
| « \(\infty^0\) » | \( \lim\limits_{x \to \frac\pi2-} (\tan x)^{\cos x} \) |
| « \(1^\infty\) » | \( \lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac2x\right)^x \) |
L'Hôpitals regel
Anta at \(f(x)\) og \(g(x)\) er deriverbare på \((a,b)\), og at \(g'(x) \neq 0\) for alle \(x \in (a,b)\). La \(c\in (a,b)\).
-
Hvis \(\lim\limits_{x\to c} f(x) = \lim\limits_{x \to c} g(x) = 0\) og \(\lim\limits_{x\to c} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = L\), så er
\[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = L.\]
-
Hvis \(\lim\limits_{x \to c} |g(x)| = \infty\) og \(\lim\limits_{x\to c} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = L\), så er
\[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = L.\]
Globale og lokale ekstremalverdier
Et punkt \(x_0\) kalles et globalt maksimumspunkt (minimumspunkt) for en funksjon \(f(x)\) dersom \(x_0 \in D_f\) og \(f(x_0) \geq f(x)\) (\(\ f(x_0) \leq f(x) \)) for alle \(x \in D_f\).
Et punkt \(x_0\) kalles et lokalt maksimumspunkt (minimumspunkt) for en funksjon \(f(x)\) dersom \(x_0 \in D_f\) og det finnes et tall \(\delta > 0\) slik at \(f(x_0) \geq f(x)\) (\(\ f(x_0) \leq f(x) \)) for alle \(x \in D_f \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\).
