TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

Oversiktsforelesning 4

Nøkkelbegreper — uke 37

  • Inverse funksjoner
  • Ekspotentialfunksjoner og logaritmer
  • Inverse trigonometriske funksjoner
  • Hyperbolske funksjoner

Inverse funksjoner

En funksjon \(f(x)\) kalles injektiv (en-entydig) dersom

\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)\]

for \(x_1,x_2\in D_f\).

Anta at \(f(x)\) er injektiv. Den inverse (omvendte) funksjonen \(f^{-1}\) til \(f\) er funksjonen definert ved å la \(f^{-1}(x)\) være det entydig bestemte elementet \(y \in D_f\) slik at \(f(y) = x\). Det vil si,

\[ y = f^{-1}(x) \iff f(y) = x\]

for \(y \in D_f\).

Egenskaper til inverse funksjoner

  • \(D_f = V_{f^{-1}}\)

  • \(D_{f^{-1}} = V_f\)

  • \(f(f^{-1}(x)) = x\) for alle \(x \in D_{f^{-1}} = V_f\).

  • \(f^{-1}(f(x)) = x\) for alle \(x \in D_f = V_{f^{-1}}\).

  • \((f^{-1})^{-1} (x) = f(x)\) for alle \(x\in D_f\).

Eksponentialfunksjoner og logaritmer

En eksponentialfunksjon er en funksjon på formen

\[ f(x) = a^x, \qquad a > 0 \quad (a\neq 1).\]

Vi definerer \(\exp(x)\) som den entydige bestemte eksponentialfunksjonen som tilfredsstiller

\[\frac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \exp(x) = \exp(x)\]

for alle \(x\in \mathbb{R}\), og \(\exp(0) = 1\). Vi sier at \(\exp(1) = e \approx 2.7182{\ldots}\) slik at \(\exp(x) = e^x\).

Den naturlige logaritmefunksjonen \(\ln(x)\) er definert som den inverse funksjonen til \(\exp(x)\). Det vil si,

\[ y = \ln(x) \iff \exp(y) = e^y = x\]

for \(y\in D_{\exp} = \mathbb{R}\).

Egenskaper til \(\ln x\) og \(\exp x = e^x\)

  1. \(\ln(xy) = \ln x + \ln y\)

  2. \(\ln\left(\dfrac1x\right) = - \ln x\)

  3. \(\ln\left(\dfrac{x}y\right) = \ln x - \ln y\)

  4. \(\ln(x^r) = r\ln x\)

  1. \(\exp(x + y) = \exp x \exp y\)

  2. \(\exp(-x) = \dfrac1{\exp x}\)

  3. \(\exp(x - y) = \dfrac{\exp x}{\exp y}\)

  4. \((\exp(x))^r = \exp(rx)\)

  • \(e^{x + y} = e^x e^y\)

  • \(e^{-x} = \dfrac1{e^x}\)

  • \(e^{x - y} = \dfrac{e^x}{e^y}\)

  • \((e^x)^r = e^{rx}\)

Inverse trigonometriske funksjoner

\(\arcsin x = \sin^{-1} x\)

  • \(D_{\arcsin} = [-1, 1]\)

  • \(V_{\arcsin} = \bigl[-\frac\pi2, \frac\pi2\bigl]\)

  • \(\frac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \arcsin x = \frac1{\sqrt{1 - x^2}}\)

\(\arccos x = \cos^{-1} x\)

  • \(D_{\arccos} = [-1, 1]\)

  • \(V_{\arccos} = [0, \pi]\)

  • \(\frac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \arccos x = -\frac1{\sqrt{1 - x^2}}\)

\(\arctan x = \tan^{-1} x\)

  • \(D_{\arctan} = \mathbb{R}\)

  • \(V_{\arctan} = \bigl(-\frac\pi2,\frac\pi2\bigl)\)

  • \(\frac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \arctan x = \frac1{1 + x^2}\)

Hyperbolske funksjoner

\[ \begin{align} \cosh x &= \frac{e^x + e^{-x}}2\\ \sinh x &= \frac{e^x - e^{-x}}2\\ \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \end{align}\]


\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\]