\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]
\[ L(\ f,P) = \sum_{i = 1}^n f(l_i) \Delta x_i\]
\[ U(\ f,P) = \sum_{i = 1}^n f(u_i) \Delta x_i\]
\[L(\ f,P) \leq I \leq U(\ f,P)\]
\[ I = \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{\substack{n(P) \to \infty\\\|P \| \to 0}} R(\ f,P,S)\]
La \(f(x)\) og \(g(x)\) være integrerbare på et intervall som inneholder \(a, b\) og \(c\). Da gjelder:
(a) \(\int_a^a f(x)\mathop{}\! dx = 0\)
(b) \(\int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = -\int_b^a f(x)\mathop{}\! dx\)
(c) \(\int_a^b [Af(x) + Bg(x)]\mathop{}\! dx = A\int_a^b f(x)\mathop{}\! dx + B\int_a^b g(x)\mathop{}\! dx\), \(A, B\) konstanter
(d) \(\int_a^b f(x)\mathop{}\! dx + \int_b^c f(x)\mathop{}\! dx = \int_a^c f(x)\mathop{}\! dx\)
(e) Hvis \(a \leq b\) og \(f(x) \leq g(x)\) for \(a \leq x \leq b\), så er \( \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx \leq \int_a^b g(x)\mathop{}\! dx\).
(f) Hvis \(a \leq b\), så er \( \left| \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\mathop{}\! dx\).
(g) Hvis \(f(x)\) er en odde funksjon, så er \( \int_{-a}^a f(x)\mathop{}\! dx = 0\).
(h) Hvis \(f(x)\) er en like (jevn) funksjon, så er \( \int_{-a}^a f(x)\mathop{}\! dx = 2\int_0^a f(x)\mathop{}\! dx\).
\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
\[ f(c) = \frac1{b - a} \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]
Anta \(f(x)\) kontinuerlig på et intervall \(I\) og \(a\in I\).
Anta at \(g(x)\) er deriverbar på \([a,b]\), hvor \(g(a) = A\) og \(g(b) = B\). Anta også at \(f(x)\) er kontinuerlig på verdimengden til \(g(x)\). Da er
\[ \int_a^b f(g(x)) g'(x)\mathop{}\! dx = \int_A^B f(u)\mathop{}\! du.\]
\[A = \int_a^b |\, f(x) - g(x)|\mathop{}\! dx\]