TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

Oversiktsforelesning 5

Nøkkelbegreper — uke 38

  • Det bestemte integralet
  • Middelverditeoremet for integraler
  • Analysens fundamentalteorem
  • Substitusjon
  • Arealet mellom to kurver

Det bestemte integralet

\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]

Nedre riemannsum \(L(\ f,P)\)

\[ L(\ f,P) = \sum_{i = 1}^n f(l_i) \Delta x_i\]

Øvre riemannsum \(U(\ f,P)\)

\[ U(\ f,P) = \sum_{i = 1}^n f(u_i) \Delta x_i\]

Det bestemte integralet

\[L(\ f,P) \leq I \leq U(\ f,P)\]

\[ I = \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{\substack{n(P) \to \infty\\\|P \| \to 0}} R(\ f,P,S)\]

Det bestemte integralet

Regneregler for integraler

La \(f(x)\) og \(g(x)\) være integrerbare på et intervall som inneholder \(a, b\) og \(c\). Da gjelder:

(a) \(\int_a^a f(x)\mathop{}\! dx = 0\)

(b) \(\int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = -\int_b^a f(x)\mathop{}\! dx\)

(c) \(\int_a^b [Af(x) + Bg(x)]\mathop{}\! dx = A\int_a^b f(x)\mathop{}\! dx + B\int_a^b g(x)\mathop{}\! dx\), \(A, B\) konstanter

(d) \(\int_a^b f(x)\mathop{}\! dx + \int_b^c f(x)\mathop{}\! dx = \int_a^c f(x)\mathop{}\! dx\)

(e) Hvis \(a \leq b\) og \(f(x) \leq g(x)\) for \(a \leq x \leq b\), så er \( \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx \leq \int_a^b g(x)\mathop{}\! dx\).

(f) Hvis \(a \leq b\), så er \( \left| \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\mathop{}\! dx\).

(g) Hvis \(f(x)\) er en odde funksjon, så er \( \int_{-a}^a f(x)\mathop{}\! dx = 0\).

(h) Hvis \(f(x)\) er en like (jevn) funksjon, så er \( \int_{-a}^a f(x)\mathop{}\! dx = 2\int_0^a f(x)\mathop{}\! dx\).

Sekantsetningen (middelverditeoremet)

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

Middelverditeoremet for bestemte integraler

\[ f(c) = \frac1{b - a} \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]

Analysens fundamentalteorem

Anta \(f(x)\) kontinuerlig på et intervall \(I\) og \(a\in I\).

  1. Da er \[ \frac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dx} \int_a^x f(t)\mathop{}\! dt = f(x).\]
  2. Dersom \(F(x)\) er en antiderivert av \(f(x)\), så er \[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b.\]

Integrasjon ved substitusjon

Anta at \(g(x)\) er deriverbar på \([a,b]\), hvor \(g(a) = A\) og \(g(b) = B\). Anta også at \(f(x)\) er kontinuerlig på verdimengden til \(g(x)\). Da er

\[ \int_a^b f(g(x)) g'(x)\mathop{}\! dx = \int_A^B f(u)\mathop{}\! du.\]

Arealet mellom to kurver

\[A = \int_a^b |\, f(x) - g(x)|\mathop{}\! dx\]