\[ \int u'(x) v(x)\mathop{}\! dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\mathop{}\! dx\]
For å integrere en rasjonal funksjon
\[R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]
kan vi gjøre som følger:
Dersom \(\operatorname{grad} P \geq \operatorname{grad} Q\) utfører vi polynomdivisjon for å kunne skrive \(R(x)\) som
\[R(x) = P_1(x) + \frac{P_2(x)}{Q(x)}\]
der \(\operatorname{grad} P_2 < \operatorname{grad} Q\). Dersom \(\operatorname{grad} P < \operatorname{grad} Q\) lar vi det stå.
Faktoriser \(Q(x)\).
Delbrøkoppspalt
Regn ut.
For hver faktor \((x - a)^m\) av \(Q(x)\) vil delbrøkoppspaltingen av \(P(x)/Q(x)\) bestå av
\[\frac{A_1}{x - a} + \cdots + \frac{A_m}{(x - a)^m}.\]
For hver faktor \((x^2 + bx + c)^n\) av \(Q(x)\) vil delbrøkoppspaltingen av \(P(x)/Q(x)\) bestå av
\[\frac{B_1 x + C_1}{x^2 + bx + c} + \cdots + \frac{B_n x + C_n}{(x^2 + bx + c )^n}.\]
For å regne ut
\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]
kan det lønne seg å innføre \(x = g(u)\) slik at
\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \int_{x = a}^{x = b} f(g(u)) \cdot g'(u)\mathop{}\! du.\]
Vi er interessert i å regne ut
\[ \int_a^b f(x) \mathop{}\! dx\]
når
\( a = -\infty\) og/eller \(b = \infty\),
\(f(x)\) er bare kontinuerlig på \([a,b)\), \((a,b]\) eller \((a,b)\).
\[\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{b\to \infty} \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]
\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{t\to a+} \int_t^b f(x)\mathop{}\! dx\]
La \(f(x)\) og \(g(x)\) være to kontinuerlige, positive funksjoner på \([a,\infty)\). Anta at \(f(x) \geq g(x)\) for alle \(x\in [a,\infty)\).
Dersom \(\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx\) konvergerer, så gjør \(\int_a^\infty g(x)\mathop{}\! dx\) det også.
Dersom \(\int_a^\infty g(x)\mathop{}\! dx\) divergerer, så gjør \(\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx\) det også.