TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

Oversiktsforelesning 6

Nøkkelbegreper — uke 39

  • Delvis integrasjon
  • Delbrøkoppspalting
  • Invers substitusjon
  • Uegentlige integral

Delvis integrasjon

\[ \int u'(x) v(x)\mathop{}\! dx = u(x)v(x) - \int u(x)v'(x)\mathop{}\! dx\]

Integrasjon av rasjonale funksjoner

For å integrere en rasjonal funksjon

\[R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\]

kan vi gjøre som følger:

  1. Dersom \(\operatorname{grad} P \geq \operatorname{grad} Q\) utfører vi polynomdivisjon for å kunne skrive \(R(x)\) som

    \[R(x) = P_1(x) + \frac{P_2(x)}{Q(x)}\]

    der \(\operatorname{grad} P_2 < \operatorname{grad} Q\). Dersom \(\operatorname{grad} P < \operatorname{grad} Q\) lar vi det stå.

  2. Faktoriser \(Q(x)\).

  3. Delbrøkoppspalt

  4. Regn ut.

Delbrøkoppspalting

  1. For hver faktor \((x - a)^m\) av \(Q(x)\) vil delbrøkoppspaltingen av \(P(x)/Q(x)\) bestå av

    \[\frac{A_1}{x - a} + \cdots + \frac{A_m}{(x - a)^m}.\]

  2. For hver faktor \((x^2 + bx + c)^n\) av \(Q(x)\) vil delbrøkoppspaltingen av \(P(x)/Q(x)\) bestå av

    \[\frac{B_1 x + C_1}{x^2 + bx + c} + \cdots + \frac{B_n x + C_n}{(x^2 + bx + c )^n}.\]

Invers substitusjon

For å regne ut

\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]

kan det lønne seg å innføre \(x = g(u)\) slik at

\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \int_{x = a}^{x = b} f(g(u)) \cdot g'(u)\mathop{}\! du.\]

Uegentlig integral

Vi er interessert i å regne ut

\[ \int_a^b f(x) \mathop{}\! dx\]

når

  1. \( a = -\infty\) og/eller \(b = \infty\),

  2. \(f(x)\) er bare kontinuerlig på \([a,b)\), \((a,b]\) eller \((a,b)\).

Type 1 uegentlig integral

\[\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{b\to \infty} \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx\]

Type 2 uegentlig integral

\[ \int_a^b f(x)\mathop{}\! dx = \lim_{t\to a+} \int_t^b f(x)\mathop{}\! dx\]

Sammenligning av uegentlige integraler

La \(f(x)\) og \(g(x)\) være to kontinuerlige, positive funksjoner på \([a,\infty)\). Anta at \(f(x) \geq g(x)\) for alle \(x\in [a,\infty)\).

  1. Dersom \(\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx\) konvergerer, så gjør \(\int_a^\infty g(x)\mathop{}\! dx\) det også.

  2. Dersom \(\int_a^\infty g(x)\mathop{}\! dx\) divergerer, så gjør \(\int_a^\infty f(x)\mathop{}\! dx\) det også.