TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

Oversiktsforelesning 9

Nøkkelbegreper — uke 42


  • Lineær approksimasjon med feilstimat

  • Taylorpolynomer

  • Taylors teorem

Lineær approksimasjon


\[ f(x)\approx L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]

\[\text{FEIL:}\quad f(x)= L(x)+\frac12 f''(s)(x-a)^2\quad \text{for \(s\) mellom \(x\) og \(a\)}\]


Taylorpolynom


\[f(x)\approx P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}2(x-a)^2+\dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]

    \(f(x)=\sin(x)\) med \(\ a=0\):


    \(P_1(x)=x\)

    \(P_3(x)=x-\frac16 x^3\)

    \(P_5(x)=x-\frac16 x^3+\frac{1}{5!}x^5\)




Taylors teorem


    \[f(x)=P_n(x)+E_n(x),\]

    der feilen
    \[\qquad \qquad E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\qquad \qquad\]
    \(\text{for en \(s\) mellom \(x\) og \(a\).}\)