TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

Oversiktsforelesning 12

Nøkkelbegreper — uke 45


  • Potensrekker

  • Konvergensradius

  • Taylorrekker

Potensrekker


    Potensrekke med sentrum \(c\) og koeffisienter \(\{a_n\}_n\):


    \[\quad\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\dots\]


    OBS: Definerer en funksjon i \(x\) der rekken konvergerer.

Potensrekker


    For  \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\)  gjelder en av tre muligheter:


    (1)    Rekken konvergerer kun for \(x=c\)


    (2)    Rekken konvergerer absolutt for alle \(x\)


    (3)    Det fins en konvegensradius  \(R>0\)  slik at rekka

            (a) konvergerer absolutt når  \(|x-c| < R \)

            (b) divergerer når  \(|x-c| > R \)

Taylorreker


      Anta  \(f(x)\)  har deriverte av alle ordner i  \(x=c\).


      Taylorrekka til  \(f(x)\)  om  \(x=c\):

      \[\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k= \lim_{n\to\infty}P_n(x)\]

      for Taylorpolynom \(P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\)


      MacLaurinrekke: Noen ganger brukt når \(c=0\)