TMA4100 Matematikk 1 – høsten 2019

\[F(x,y,y')=0\]

Løsning på \((a,b)\):   En funksjon \(y=y(x)\) som oppfyller ligningen for alle \(x\in(a,b)\)



Mange løsninger! Trenger startbetingelse:

\[y(x_0)=y_0\]


Modell for fysiske fenomen! Natur- og ingeniørvitenskap!!

\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\]

          Løsningsmetode:

\["\frac{dy}{g(y)}=\,f(x)\,dx"\quad\text{eller}\quad \int \frac{dy}{g(y)}= \int f(x)\, dx +C.\]

          Lineære ligninger:

\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)\]

          Løsningsmetode:    Integrerende faktor    \(e^{\int p(x)\,dx}\)

\begin{align*} \frac{d}{dx}\Big(e^{\int p(x)\,dx}y(x)\Big)&\stackrel{prod. regel}{=}e^{\int p(x)\,dx}\Big(\frac{dy}{dx}+p(x)y\Big)\\ &\stackrel{ligning}{=}e^{\int p(x)\,dx}q(x) \end{align*}

Startverdiproblem: \begin{align*} &\frac{dy}{dx}=f(x,y),\\ &y(x_0)=y_0. \end{align*}


Teorem: Hvis  \(f\) kontinuerlig og  \(y\)-Lipschitz , dvs.

\[|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L|y_1-y_2|\quad\ \text{"\(\frac{\partial f}{\partial y}\) begrenset"} \]

for alle \(x,y_1,y_2\in\mathbb R\), da eksisterer en entydig løsning  \(y(x)\)  for alle  \(x\in\mathbb R\).

• \(h=\frac{b-a}N\)                       (steglengde, antall tidssteg \(N \) )
• \((x_0,y_0)=(a,y(a))\)
• For \(n=0,\ \dots \ , N-1\):

\begin{align*} &x_{n+1}=x_n+h, \\ &y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n). \end{align*}

Løsning:         \((x_0,y_0), \ (x_1,y_1), \qquad \dots\qquad ,(x_N,y_N)\)

                   \(\approx (a,y(a)), \ (x_1,y(x_1)),\quad\ \ \dots\quad \ \ ,(b,y(b))\)