TMA4105 Matematikk 2 — våren 2018
- Matematikk 2 er fortsettelsen av Matematikk 1.
- Undervisningstilbudet er helt identisk med undervisningstilbudet i Matematikk 1:
- oversiktsforelesninger
- interaktive forelesninger
- plenumsregning
- mattelab
- Eksamen er 22. mai 2018, kl. 9.00 – 13.00.
- For å få tilgang til eksamen må du ha
- minst 6 av 12 godkjente Maple T.A.-tester
- minst 2 av 4 skriftlige innleveringer
Nøkkelbegreper — uke 2
- Kjeglesnitt
- Parametriserte kurver i planet
- Stigningstall for parametriserte kurver
- Buelengde av parametriserte kurver
- Polarkoordinater
- Areal av områder begrenset av kurver gitt ved polarkoordinater
- Buelengde av kurver gitt ved polarkoordinater
Kjeglesnitt
Kjeglesnitt fremkommer som snittkurver når man skjærer over en kjegle på skrå.
Dette gir opphav til
- parabler: \(x^2 = 4ay, \quad y^2 = 4ax\)
- ellipser: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
- hyperbler: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)
Buelengde
Buelengde
\[ s = \int_a^b \sqrt{1 + (\, f'(x))^2}\mathop{}\! dx\]
Buelengde
Gitt en glatt parametrisert kurve \(C\), der \[x = f(t), \qquad y = g(t), \qquad t \in [a,b].\]
Buelengden er så gitt ved \[s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{\mathop{}\! dx}{\mathop{}\! dt}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{}\! dy}{\mathop{}\! dt}\right)^2} \mathop{}\! dt.\]
Polarkoordinater
|
|
\[\begin{aligned} & \left. \begin{array}{l} x = r \cos \theta\\ y = r\sin \theta \end{array} \right\} x^2 + y^2 = r^2\\ & \tan\theta = \frac{y}x\end{aligned}\] |
Areal
La kurven \(C\) være gitt ved \(r = f(\theta)\) i polarkoordinater.
Arealet av området \(R\) er så gitt ved \[ A = \frac12 \int_\alpha^\beta f(\theta)^2 \mathop{}\! d\theta.\]
Buelengde
Buelengden til kurven gitt ved \[r = f(\theta), \qquad \alpha \leq \theta \leq \beta,\] er gitt ved \[ s = \int_\alpha^\beta \sqrt{ f'(\theta)^2 + f(\theta)^2} \mathop{}\! d\theta.\]