Nøkkelbegreper — uke 3
- Vektorvaluerte funksjoner av én variabel
- Deriverbarhet
- Derivasjonsregler: produktregler og kjerneregelen
- Kurver gitt ved vektorvaluert funksjon
- Glatte kurver
- Enhetstangentvektor og enhetsnormalvektor
- Buelengde
- Krumning
Teorem 11.1
La \(\mathbf{u}\) og \(\mathbf{v}\) være to deriverbare vektorvaluerte funksjoner, og la \(\lambda\) være en deriverbar skalarfunksjon. Da gjelder
(a) \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dt} (\mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)) = \mathbf{u}'(t) + \mathbf{v}'(t)\)
(b) \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dt} (\lambda(t) \mathbf{u}(t)) = \lambda'(t) \mathbf{u}(t) + \lambda(t) \mathbf{u}'(t)\)
(c) \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dt} (\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)) = \mathbf{u}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}'(t)\)
(d) \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dt} (\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t)) = \mathbf{u}'(t) \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}'(t)\) (gjelder bare for \(\mathbf{u}(t), \mathbf{v}(t)\in \mathbb{R}^3\))
(e) \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dt} \mathbf{u}(\lambda(t)) = \lambda'(t) \mathbf{u}'(\lambda(t))\)
(f) for alle punkter der \(\mathbf{u}(t) \neq \mathbf{0}\), så er \(\dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dt} |\mathbf{u}(t)| = \dfrac{\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{u}'(t)}{|\mathbf{u}(t)|}\)
Buelengde
|
Gitt en glatt parametrisert kurve \(C\), der \[x = f(t), \quad y = g(t), \quad t \in [a,b].\] Buelengden er så gitt ved \[s = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{\mathop{}\! dx}{\mathop{}\! dt}\right)^2 + \left(\frac{\mathop{}\! dy}{\mathop{}\! dt}\right)^2} \mathop{}\! dt.\] |
|
Buelengde
|
La kurven \(C\) være gitt ved parametriseringen \(\mathbf{r}(t)\) der \(t\in [a,b]\). Buelengden er så gitt ved \[ s = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)| \mathop{}\! dt.\] |
|
Krumning og enhetsnormal
|
Gitt en glatt parametrisering \(\mathbf{r}(t)\) av en kurve \(C\), så er krumningen gitt ved \[ \kappa = \left| \frac{\mathop{}\! d\hat{\mathbf{T}}}{\mathop{}\! ds} \right| = \frac1{|\mathbf{v}(t)|} \left| \frac{\mathop{}\! d\hat{\mathbf{T}}}{\mathop{}\! dt} \right|.\] Hvis \(\kappa \neq 0\), så er enhetsnormalen gitt ved \[ \hat{\mathbf{N}} = \frac1{\kappa(s)} \frac{\mathop{}\! d\hat{\mathbf{T}}}{\mathop{}\! ds} = \frac{\mathop{}\! d\hat{\mathbf{T}}/\mathop{}\! dt}{|\mathop{}\! d\hat{\mathbf{T}}/\mathop{}\! dt|}.\] |
|
Dekomponering av akselerasjon
Akselerasjonen \(\mathbf{a}\) kan uttrykkes som \[ \mathbf{a} = a_T \hat{\mathbf{T}} + a_N \hat{\mathbf{N}} \] der
(1) \(a_T = \dfrac{\mathop{}\! d^2 s}{\mathop{}\! dt^2} = \dfrac{\mathop{}\! d}{\mathop{}\! dt} |\mathbf{v}(t)|\)
(tangentkomponenten)
(2) \(a_N = \kappa \left(\dfrac{\mathop{}\! ds}{\mathop{}\! dt}\right)^2 = \kappa |\mathbf{v}(t)|^2\)
(normalkomponenten).