Nøkkelbegreper — uke 5

  • Kjerneregel for funksjoner av flere variabler
  • Lineær approkismasjon
  • Deriverbarhet for funksjoner av flere variabler
  • Gradient og retningsderivert
  • Implisitt funksjonsteorem

Kjerneregler

Hvis \(z\) er en funksjon av \(x\) og \(y\) med kontinuerlig første ordens partiellderiverte, og \(x\) og \(y\) er deriverbare funksjoner av \(t\), så er

\[ \frac{\mathop{}\! dz}{\mathop{}\! dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\mathop{}\! dx}{\mathop{}\! dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\mathop{}\! dy}{\mathop{}\! dt}.\]


Hvis \(z\) er en funksjon av \(x\) og \(y\) med kontinuerlig første ordens partiellderiverte, og \(x\) og \(y\) avhenger av \(r\) og \(s\), så er

\[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial r} &= \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}\\ \frac{\partial z}{\partial s} &= \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}. \end{align}\]

Retningsderivert

\[ D_{\mathbf{u}}\ f(\mathbf{a}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + h \mathbf{u}) - f(\mathbf{a})}h\]

Partiellderivasjon

\[D_\mathbf{i}\ f(a,b) = \frac{\partial f}{\partial x} (a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,b) - f(a,b)}h\]

\[D_\mathbf{j}\ f(a,b) = \frac{\partial f}{\partial y} (a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a,b + h) - f(a,b)}h\]

Implisitt funksjonsteorem

Anta at \(D\) er en åpen delmengde av \(\mathbb{R}^{n + 1}\) og la \(f \colon D \to \mathbb{R}\) være en funksjon av \(n + 1\) variable, \(x_1,x_2,\ldots,x_n,y\), med kontinuerlig partiellderiverte. Anta at \((\mathbf{a},b) = (a_1,a_2,\ldots,a_n,b)\) er et punkt i \(D\) der \(f(\mathbf{a},b) = 0\).

Anta at \(\frac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{a},b) \neq 0\). Da finnes det en omegn \(B\) om \(\mathbf{a}\) slik at for hver \(\mathbf{x}\) i \(B\) finnes det et entydig bestemt tall \(g(\mathbf{x})\) slik at \[ f(\mathbf{x},g(\mathbf{x})) = 0.\]

Funksjonen \(g \colon B \to \mathbb{R}\) er deriverbar og

\[ \frac{\partial g}{\partial x_i} (\mathbf{x}) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x},g(\mathbf{x}))}{\frac{\partial f}{\partial y} (\mathbf{x},g(\mathbf{x}))}.\]

Spesielt er \(g(\mathbf{a}) = b\) og

\[\frac{\partial g}{\partial x_i} (\mathbf{a}) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{a},b)}{\frac{\partial f}{\partial y} (\mathbf{a},b)}.\]