La \(f(x,y)\) være en funksjon av to variable og la \((a,b)\in D_f\) være et kritisk punkt som også er et indre punkt i \(D_f\). Anta at alle de annenordens partiellderiverte er kontinuerlig i en omegn om \((a,b)\).

La

\[ A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (a,b), \quad B = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (a,b) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (a,b), \quad C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (a,b)\]

og la \(\mathcal{D}\) være determinanten til Hesse-matrisen,

\[ \mathcal{D} = \begin{vmatrix} A & B\\ B & C \end{vmatrix} = AC - B^2.\]

Da gjelder

(1) Hvis \(\mathcal{D} < 0\), så er \((a,b)\) et sadelpunkt.

(2) Hvis \(\mathcal{D} > 0\) og \(A > 0\), så er \((a,b)\) et lokalt minimumspunkt.

(3) Hvis \(\mathcal{D} > 0\) og \(A < 0\), så er \((a,b)\) et lokalt maksimumspunkt.

Hvis \(\mathcal{D} = 0\) så gir testen ingen konklusjon.