Nøkkelbegreper — uke 7
- Dobbeltintegraler
- Riemannsummer
- Egenskaper til dobbeltintegraler
- Enkle (\(x\)-enkle, \(y\)-enkle) integrasjonsområder
- Itererte integraler
- Bytte av integrasjonsrekkefølge
- Uegentlige integraler for funksjoner med konstant fortegn
- Middelverdier for funksjoner av flere variable
Det bestemte integralet
\[L(\ f,P) \leq I \leq U(\ f,P)\]
\[ I = \int_a^b f(x)\; dx = \lim_{\substack{n(P) \to \infty\\\|P \| \to 0}} R(\ f,P,S)\]
Det bestemte integralet
Dobbeltintegraler
|
\[ \begin{align} \iint_R f(x,y) \mathop{}\! dA &= \lim_{\|P\| \to 0} R(\, f,P)\\ &= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n f(x_{ij}^\ast,y_{ij}^\ast) \Delta A_{ij} \end{align} \] |
|
Egenskaper til dobbeltintegraler
La \(f(x,y)\) og \(g(x,y)\) være to funksjoner som er integrerbare over et område \(D\), og la \(L\) og \(M\) være to konstanter. Da gjelder:
(1) \(\iint_D f(x,y) \mathop{}\! dA = 0\), hvis \(D\) har areal lik \(0\)
(2) \(\iint_D \mathop{}\! dA = \mathrm{areal}(D)\)
(3) Hvis \(f(x,y) \geq 0\) på \(D\) så er \(\iint_D f(x,y) \mathop{}\! dA = V \geq 0\) der \(V\) er volumet til legemet som ligger under \(z = f(x,y)\) og over \(D\)
(4) \(\iint_D \bigl( Lf(x,y) + Mg(x,y)\bigl) \mathop{}\! dA = L \iint_D f(x,y) \mathop{}\! dA + M \iint_D g(x,y) \mathop{}\! dA\)
(5) Hvis \(f(x,y) \leq g(x,y)\) på \(D\) så er \(\iint_D f(x,y) \mathop{}\! dA \leq \iint_D g(x,y) \mathop{}\! dA\)
(6) \(\left| \iint_D f(x,y) \mathop{}\! dA\right| \leq \iint_D |f(x,y)| \mathop{}\! dA\)
(7) Hvis \(D_1,D_2,\ldots,D_k\) er ikke-overlappende områder der \(f\) er integrerbar på hver av dem, så er \(f\) integrerbar på unionen \(D = D_1 \cup D_2 \cup \cdots \cup D_k\) og
\[ \iint_D f(x,y) \mathop{}\! dA = \sum_{j = 1}^k \iint_{D_j} f(x,y) \mathop{}\! dA\]