TMA4110 Matematikk 3
Høsten 2004
Framdriftsplan i svart
Forelest materiale i rødt
|
Uke
|
Emner
|
Henvisning til lærebok
|
Trenings-
oppgaver
|
|
Uke 34
|
1.
forelesning: Størrelsen
i. Komplekse tall, realdel, imaginærdel, addisjon og subtraksjon,
multiplikasjon. Kompleks konjugert. Divisjon. Det komplekse plan. Polarform.
Modul og argument. Multiplikasjon og divisjon i polarform. Kompleks
eksponensialfunskjon. Eulers formel (NB! side 77-78 i Kreyszig)
2.
forelesning:
Repetisjon. Eksempler med regneregler. Oppførsel til argumentet.
Prinsipalverdi. Argumentet og kompleks konjugert. Eulers formler.
Multiplikasjon og divisjon med kompleks eksponensialfunksjon. Formlene
for sinus og cosinus. n-te røttene og hvordan de ligger i det
komplekse plan. n-te røttene til 1. Regneeksempler fra K.
|
K: 12.1, 12.2, K s.77-78
|
|
|
Uke 35
|
1.
forelesning:
Oppsummering om kompleks eksponensialfunksjon. Håndregning av kvadratrot.
Andregradsligning med komplekse tall.
Lineære differensialligninger
av 1. orden.
Litt generell teori.
Homogenligning og løsning av denne. Partikulærløsninger og metoden med
variasjon av parametrene. exp(x) og ex ! Den
generelle formelen for løsning av ligningen y’(x)+p(x)y(x)=r(x).
2.
forelesning: Repetisjon.
Regneoppskrift for første ordens ligninger. Multiplikasjon med integrerende
faktor. Eksempel 1, s. 34 og Eksempel 2, s. 36. Startbetingelser. Eulers metode. Iterasjon.
Steglengde. Nøyaktighet. Numeriske eksempler på transparenter.
|
K 12.2 (spesielt oppgavene 25
og 29.)
K: 1.6 (til Reduction to..,
s. 36), 19.1 (til Improved Euler.., s. 945)
Eulers metode.
|
|
|
Uke 36
|
1.
forelesning:
Basiseksemplet svingeligningen. Generelle egenskaper til lineære ligninger.
Homogene ligninger av 2. orden. Lineærkombinasjoner av løsninger.
Superposisjonsprinsippet. Generell løsning. Lineært uavhengige løsninger.
Likeverdige lineært uavhengige løsninger. Basis av løsninger.
Startverdiproblemet eller initialverdiproblemet. 2. ordens ligninger med
konstante koeffisieneter. Karakteristisk ligning. De tre tilfellene.
Gjennomgang av tilfelle 1, a2-4b>0.
2.
forelesning:
Hom. ligninger med konstante
koeffisienter. Den andre løsningen for Case II. Generell løsning av Case
III med cos og sin. Acos(wx+f).
Randverdiproblem. Svingninger.
Dempningskoeffisient og egenfrekvens. Eksempel med optimal dempning.
|
K: 2.1 (fram til How to..,
s. 69), 2.2, 2.3, 2.5
Opt.
dempning.
|
|
|
Uke 37
|
1.
forelesning:
Euler-Cauchy-ligningen. Hovedresultatet om eksistens og entydighet.
Wronski-determinanten og lineær uavhengighet. Praktisk løsning av
generelle ligninger. Inhomogene ligninger. yH+yP . Splitt og hersk!
Polynom-løsninger.
2.
forelesning: Metoden
med ubestemte koeffisienter. Epsponensialfunksjoner, sin og cos,
multiplikasjon med x, kombinasjoner. Tabeller for løsninger.
|
K: 2.6 (kun Case I), 2.7
(resultater, - ikke bevis), 2.8, 2.9. Tabell.
Flytskjema.
|
|
|
Uke 38
|
1.
forelesning: Metoden
med variasjon av parametre (Lagranges generelle metode). Ikke gjennomgått
bevis.
(1) Finne basis, (2) finne W,
(3) finne u og v.
Svingninger og resonans.
Innføring om kompleks regnemåte.
2.
forelesning: Kompleks
regnemåte, avslutning. Innledning om lineære ligninger. Omforming av
lineære systemer.
|
K: 2.10, 2.11(ikke
i detalj)
Kompleks
regnemåte.
EP: 1.1
|
2. forel: EP Oppg. 9,17,21 (s.
9&10)
|
|
Uke 39
|
1.
forelesning: Echelon form.
Løsning (i) entydig, (ii) umulig, (iii) uendelig mange. Frie variable.
Utvidet koeffisientmatrise. Få systemer over på Echelon form.
Gauss-eliminasjon. Redusert Echelon form. Homogene ligninger.
2.
forelesning: Radvektor,
kolonnevektor, produkt mellom vektorer, matriser, rader og kolonner,
orientere seg i en matrise, sum av matriser, matriseproduktet. AB
og BA.
|
EP: 1.2, 1.3
EP 1.4
|
1. forel: 3,7 (s. 21)
27 (s. 22), 19,35 (s.29).
2. forel.: 3,9,13 (s. 41-42)
(eller så mange som mulig!)
|
|
Uke 40
|
1. forelesning: Matriser og vektorer, fortsatt. Tolkning av matriseprodukt.
Skriving av matrise/vektor og matriseprodukt på ulike måter.
Enhetsmatrisene. Den inverse til en matrise.
2.
forelesning: Inverse
matriser. Alle basisegenskaper i EP 1.5. Hvordan finne A-1. Matrisesystemer AX=B. Simultan overføring til Echelon
form. NB: s. 51-52 er ikke gjennomgått.
|
EP 1.5
|
1. forel.: Regn flere oppgaver
fra 1.4!
Ellers på s. 56: 1,3,7.
2. forelesning: s. 56 –57: 5,
19, 30,34,35.
|
|
Uke 41
|
Aktivitetsuke
(Midsemesterprøve
Mandag 11. oktober. Se egen orientering!)
|
Ingen
forelesninger.
|
|
|
Uke 42
|
2.
forelesning:
Determinanter for 2x2 matriser. Egenskaper. Minorer og kofaktoerer.
Generell definisjon. Generelle egenskaper
|
EP: 2.1 - 2.3
|
s. 88-89: 3,5,7,17,21,23.
|
|
Uke 43
|
1.
forelesning: Avslutning
determinanter. |A-1| og
|kA|. Cramer’s regel, adungert matrise (lesestoff!)
Vektorrom, underrom.
2.
forelesning: Lineære
kombinasjoner. Lineær uavhengighet.
|
EP 2.4 (EP K. 3 regnes i hovedsak
som kjent). EP 4.1
EP: 4,2
|
s. 99: 13
s. 106: 1,11
s. 9,15
s. 179: 1,7,9,21,25
|
|
Uke 44
|
1.
forelesning: Basis for vektorrom. Egenskaper.
2.
forelesning: Rad og
kolonnerom. Inhomogene ligningner
|
EP. 4.3
EP. 4.4
|
s. 187: 1,3,9, 17
s.196: 1,5,13,17,26
|
|
Uke 45
|
1. og 2.
forelesning:
Skalarproduktet, egenskaper, ortogonalitet, ortogonale komplement,
ortogonal basis, Skrive en vektor i en ortogonal basis. Gram-Schmidt
algoritmen. x=p+e = projeksjon+feil. Egenskaper til p og e.
Finne projeksjon når basis er gitt.
|
EP: 5.1, 5.4
|
s. 219-220: 1,17
s. 244: 3,11
|
|
Uke 46
|
1. of 2.
forelesning:
Egenvektorer og egenverdier, Diagonalisering. Eksempler
|
EP: 6.1, 6.2,6.3*
|
s. 269: 5,21
s. 17, 27.
|
|
Uke 47
|
1.
forelesning: Kort
oversikt over symmetriske matriser. Ortogonale matriser.
Diagonaliserbarhet. Reelle egenverdier. Innledning til systemer av diff.
ligninger.
2.
forelesning: Generell løsning
av 1.ordens systemer. Eksempler. Red. til første ordens system. Oppgave A25
|
EP: 6.4*
K: 3.1,3.2,3.3*
|
s. 297 15,17.
Finn eksamesoppgaver selv!
(Lite oppgaver i K.)
|
|
Uke 48
|
Kjeglesnitt og kvadratiske
former
Oppsummering. Regning av eksamensoppgaver
|
EP 8.1
|
|
|
|
Eksamen 30. november
|
|
|
*: Delvis.
K =
Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, 8.utgave, 1999.
EP = Edwards & Penney: Elementary
Linear Algebra (Det er ingen endringer i de ulike utgavene).
NB! Framdriftsplanen
kan endres.
|
