\title{Trippelintegral}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Trippelintegral fungerer omtrent som dobbeltintegral,
men det er vanskeligere. 
Vi integrerer funksjoner fra $\mathbb R^3$ til $\mathbb R$.
Du kan tenke på funksjonen som massetetthet i rom, 
og på integrasjonsområdet som en ting du ønsker å finne massen til.
Vi skriver
\[
\iiint_R f(x,y,z)\; dV=    \int    \int    \int  f(x,y,z) \; dzdydx
\]
og 
integralene utføres fra innerst til ytterst.

\begin{oppgave}{1}
Les kap. 14.5 i Adams.
\end{oppgave}

La oss begynne med noe enkelt.
I oppgaven under er integrasjonsområdet en rektangulær boks. 

\begin{oppgave}{2}
Regn ut
  \begin{equation*}
    \int_0^1    \int_0^2    \int_0^3  x^2y+z  \; dzdydx.
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Dersom $x+y+z$ er massetetthet, 
hvordan vil du tolke det innerste integralet
  \begin{equation*}
 \int_0^3  x^2y+z  \; dz?
  \end{equation*}
Hva med de to innerste integralene
  \begin{equation*}
\int_0^2 \int_0^3  x^2y+z  \; dzdy?
  \end{equation*}
\end{oppgave}

Det vanskelige kommer når integrasjonsområdet ikke er rektangulært. 
La oss prøve Adams sitt eksempel med tetraederformet integrasjonsområde.
I de tre neste oppgavene er $T$ et tetraeder med hjørner i $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ og $(0,0,1)$.

\begin{oppgave}{4}
Overflaten til $T$ består av fire plan som har hver sin likning. 
Finn dem.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
Skriv opp integralet
  \begin{equation*}
\iiint_T  x^2y+z  \; dV
  \end{equation*}
  på seks forskjellige måter.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
  Anta at massetettheten til et  objekt formet som $T$ er gitt som $\delta(x,y,z) = xz$.
 Finn massen og massesenteret til
  objektet.
\end{oppgave}


Nå tar vi en litt vanskeligere en.

\begin{oppgave}{7}
Et område $D$ er definert ved gitt ved ulikhetene $0\leq z\leq 1-|x|-|y|$. 
Skisser området og skriv opp
  \begin{equation*}
\iiint_D  x^2y+z  \; dV
  \end{equation*}
  på seks forskjellige måter. (Oppg 14.5.7 fra Adams.)
\end{oppgave}


\end{document}
