\title{Trippelltintegral}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Hvis du vil trippelintegrere en funksjon $f$ over et domene $D$ som er enhetskuleformet,
blir det et svineri uten like i vanlige koordinater:
  \begin{equation*}
    \iiint_D f \;  dV = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-y^2-x^2}}^{\sqrt{1-y^2-x^2}}f(x,y,z)\;dz dy dx
  \end{equation*}
Heldigvis finnes det medisin for slikt. 
Det kalles koordinatskift:
  \begin{equation*}
    \iiint_D f \;  dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1f(r\cos \theta \sin \phi, r\sin \theta \sin \phi, r\cos \phi) r\sin^2 \phi \;dr d\phi d\theta
  \end{equation*}
Trikset er å tenke parametrisering.
Man må finne en parametrisering av integrasjonsområdet hvis definisjonsmengde er en rektangulær boks.
Akkurat som med linje- og flateintegraler må man huske å kompensere for farten til parametriseringen, 
og derfor er det en faktor $ r\sin^2 \phi$ til slutt i integralet over.

Det finnes to veldig viktige koordinattransformasjoner. 
Dersom integrasjonsområdet er formet som en sylinder parallell med $z$-aksen,
bruker man sylinderkoordinater:
\begin{align*}
x&=r\cos \theta \\
y&=r\sin \theta \\
z&=z
\end{align*}
%Ulikhetene
%\[
%0\leq \theta < 2\pi \quad 0\leq r \leq a \quad b \leq z \leq c
%\]
%i variablene til parametriseringen betyr det samme som 

\begin{oppgave}{1}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iiint_R (x^2 + y^2 + z^2) \dee V
  \end{equation*}
  der $R = \left\{(x,y,z) \,:\, 0\leq x^2+y^2 \leq 9 \text{ og } 0\leq z
  \leq 5\right\}$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
    Finn volumet av den delen av kjeglen
    \[
        z^2 \geq x^2 + y^2
    \]
    som ligger innenfor kuleskallet $x^2+y^2+z^2=1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iiint_T z\sqrt{x^2+y^2} \; dV
  \end{equation*}
  der legemet $T$ er gitt ved $0\leq z\leq 1 - \sqrt{x^2 + y^2}$,
  $y\geq 0$.
\end{oppgave}

Den andre viktige transformasjonen er kulekoordinater:
\begin{align*}
x&=r\cos \theta \sin \phi \\
y&=r\sin \theta \sin \phi\\
z&=z \cos \phi
\end{align*}
Her er $\theta$ vinkelen du er vant med i $xy$-planet, 
og $\phi$ vinkelen $(x,y,z)$ gjør med $z$-aksen.

\begin{oppgave}{4}
Finn massesenteret til en åttendels kule, en kvart kule og en halvkule, alle med konstant massetetthet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Finn
\[
\iiint_R z \; dV
\]
der $R$ er området i rommet avgrenset av $x^2+y^2+z^2=4$, 
$xz$-planet, $yz$-planet, $x\geq 0$ og $y\geq 0$.
\end{oppgave}


\subsection*{Ukens nøtter} 

\begin{oppgave}{3}
  La $R$ være det romlige legemet som er avgrenset av flaten $z =
  \sqrt{x^2 + y^2 - 4}$ samt planene $z = 0$ og $z = \sqrt 5$.

  Regn ut volumet av $R$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
  Finn volumet av legemet som er avgrenset av flaten oppgitt i
  kulekoordinater ved
  \begin{equation*}
    \rho = 4-\cos(\varphi).
  \end{equation*}
\end{oppgave}


\end{document}
