\title{Divergensteoremet}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Denne uken skal vi ta for oss to viktige teoremer - Stokes' teorem og divergensteoremet. 
Begge er matematiske teoremer som forteller noe om hvordan vektorfelt oppfører seg, 
og er sentrale elementer i utledningen av Maxwells lover, 
som du skal lære om over jul.

La oss begynne med divergensteoremet.
Først må vi skjønne hva divergensen til et vektorfelt er:
\[
\nabla \cdot \mathbf F = \frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F_3}{\partial x_3}
\]
Hver av komponentene til $\mathbf F$ har tre partiellederiverte, 
og divergensen til $\mathbf F$ er altså summen av tre av dem. 
Les 16.1 og 16.2 i Adams.

\begin{oppgave}{1}
  Finn divergensen til vektorfeltet $\vekF(x,y,z) = (10xy^2, -  5yz^2, 9zx^2)$.
\end{oppgave}

Nå skal vi se litt på hva divergensen betyr.

\begin{oppgave}{2}
  La $\S_{\epsilon}$ være kuleflaten med sentrum i origo og radius
  $\epsilon$, og la vektorfeltet $\vekF$ være gitt ved
  $\vekF(x,y,z) = (x,y,0)$.  La $\mathbf N $ være enhetsnormalen til
  $\S_{\epsilon}$ som peker utover.  Bestem grenseverdien
  \begin{equation*}
    \lim_{\epsilon \to 0^+}  \frac3{4\pi\epsilon^3}
    \oiint_{\S_\epsilon} \vekF \cdot \mathbf N  \dee S.
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Finn divergensen til coulombkraften til en ladning $q$
\end{oppgave}

Les nå 16.4 i Adams.

\begin{tcolorbox}[title=Divergensteoremet]
\[
\iiint_D \nabla \cdot \mathbf F \; dV= \iint_{\partial D} \mathbf F \cdot \mathbf N \;dS
\]
\end{tcolorbox}

\begin{oppgave}{4}
La $T$ være området i $\R^3$ begrenset av paraboloidene
$z = x^2 + (y + 1)^2$ og $z = 10 - x^2 - (y - 1)^2$, og la $\C$ betegne
skjæringskurven mellom disse to paraboloidene.
La vektorfeltet $\vekF \colon \R^3 \to \R^3$ være gitt ved
$\vekF(x,y,z) = (x + y, y - x, x^2 + y^2)$.

  Regn ut
  \begin{equation*}
    \oiint_{\partial T} \vekF \cdot 
    \mathbf N\, dS,  \end{equation*}
  der $\partial T$ er randen til $T$ og enhetsnormalen $\mathbf N$ peker
  ut fra $T$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
  La $T$ være området i $\R^3$ begrenset av flatene $z = \sqrt{x^2 +
    y^2 - 7}$, $z = 0$ og $z = 2$.  La vektorfeltet $\vekF \colon \R^3
  \to \R^3$ være gitt ved
  \begin{equation*}
    \vekF(x,y,z) = (x - z, x + y, z + 1).
  \end{equation*}
  Hva er fluksen ut av den krumme delen til randen til $T$?
\end{oppgave}



\end{document}
