\title{Mer om linjeintegraler}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


I denne økten skal vi prøve å komme nærmere på linjeintegralet, 
siden det er et viktig integral for å forstå potensiell energi i kraftfeltet fra en elektrisk ladning. 
La oss begynne med noe relatert, 
nemlig buelengde.
Buelengden til en kurve $\Gamma$ er gitt ved
\[
\int_\Gamma ds =\int_a^b \|\dot{\mathbf z}\| \; dt =\int_a^b \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\; dt
\]
der $\mathbf z(t)=[x(t),y(t)]$ er en parametrisering av $\Gamma$, 
med endepunkter $\mathbf z(a)$ og $\mathbf z(b)$.
Det går an å vise at dette integralet ikke avhenger av parametriseringen $\mathbf z$. 

\begin{oppgave}{1}
Finn buelengden til kurven parametrisert ved 
  \begin{equation*}
    \mathbf z (t) = \left(\frac12 \ln \left(1+t^2\right), \arctan t\right), \qquad t\in
    [0,2).
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
  Et objekt beveger seg i planet slik at posisjonen til objektet er
  gitt ved
  \begin{equation*}
    \mathbf z (t) = \left(\frac12 \ln \left(1+t^2\right), \arctan t\right), \qquad t\in
    [0,\infty).
  \end{equation*}
  Hvor lang tid tar det før objektet har beveget seg $2$ lengdeenheter
  fra $t = 0$?
\end{oppgave}

Ok, la oss nå si at en brugde svømmer langs med en trajektorie gitt ved $\mathbf z$,
og at planktontettheten i vannet langs kurven er gitt ved $f(x,y)$.
Hvis du tenker riemannsummer, 
er det kanskje ikke så vanskelig å se at det brugden spiser på en infinitesimal del av kurven er gitt ved
\[
f\left(x(t),y(t)\right)\sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)} dt,
\]
og derfor er det naturlig å definere linjeintegral over skalarfeltet $f$ som 
\[
\int_\Gamma f ds=\int_a^b f\left(x(t),y(t)\right) \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\; dt.
\]

\begin{oppgave}{3}
En brugde svømmer langs enhetssirkelen i $\mathbb R^2$, 
og planktontettheten i vannet er gitt ved 
  \begin{equation*}
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}+xy.
  \end{equation*}
  Hvor mye plankton spiser brugden på en runde rundt?
\end{oppgave}


\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.1]{brugde}\\
By Greg Skomal / NOAA Fisheries Service
\end{center}
\end{figure}

Nå er vi istand til å se på hvorfor arbeidsintegralet
\[
\int_\Gamma \mathbf F \cdot ds = \int_a^b \mathbf F(\mathbf z(t))\cdot \dot{\mathbf z}(t)\; dt
\]
ser ut som det gjør. 
For å finne arbeidet kraftfeltet $\mathbf F$ gjør på en partikkel som farer langs en trajektorie i kraftfeltet,
er vi interessert i å integrere opp kraftens komponent tangentielt med kurven:
\[
\mathbf F\cdot \mathbf T=\mathbf F\cdot \frac{\dot{\mathbf z}}{\dot{\|\mathbf z}\|}
\]
Merk at dette uttrykket blir et skalarfelt, 
og husk at  
\[
\mathbf T=\frac{\dot{\mathbf z}}{\dot{\|\mathbf z}\|}
\]
dersom $\Gamma$ er parametrisert av $\mathbf z(t)$. 
I fysikken på videregående jobbet du stort sett under antagelsen at kraften var konstant,
i fast vinkel $\theta$ med bevegelsesretningen, 
og at bevegelsen var en rettlinjet bevegelse med lengde $s$,  
slik at arbeidet kunne defineres som 
\[
Fs\cos \theta.
\]
Arbeidet 
\[
\int_\Gamma \mathbf F\cdot \mathbf T \; ds=\int_a^b\mathbf F(z(t))\cdot \frac{\dot{\mathbf z}(t)}{\dot{\|\mathbf z}(t)\|}\|\dot{\mathbf z}(t)\|\; dt=\int_a^b\mathbf F(z(t))\cdot \mathbf z(t)\; dt
\]
er en generalisering av den enklere formelen du lærte på videregående.
Merk hvordan lengdeelementet fra linjeintegralet kansellerer mot normaliseringsfaktoren i enhetstangentvektoren i definisjonen av arbeid. 




\end{document}
