\title{Krasjkurs i dobbeltintegral}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Hvis du ønsker å visualisere en funksjon $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ gitt ved
\[
z=f(x,y)
\]
har du to valg. 
Du kan tenke på $f$ som taket i et hus eller ladningstettheten på en plate. 
Integralet 
\[
\iint_D f(x,y) \; dA
\]
kan du i så fall tenke på som volumet av huset eller den totale ladningen på platen. 
I begge tilfeller er grunnflaten gitt ved $D$. 

La oss begynne med noen enkelt. 
Hvis $D$ er et rektangel blir det ikke noe vanskeligere enn i envariabel kalkulus. 
La oss finne volumet under funksjonen $f(x,y)=xy$, p{\aa} firkanten avgrenset av $x=0$, $x=1$, $y=0$ og  $y=1$. Det blir

\begin{equation*}
\iint_D f(x,y) \; dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xy \; dxdy.
\end{equation*}

N{\aa} integrerer vi denne rolig og steg for steg. F{\o}rst tar vi det innerste integralet. Det er med hensyn p{\aa} $x$, fordi $dx$ st{\aa}r innerst. 
Integrer med hensyn på $x$, 
og lat som om $y$ er en konstant.

\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xy \; dxdy=\int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^{2}y\bigr\rvert_0^1\; dy= \frac{1}{2}\int_{0}^{1} 1^{2}\cdot y - 0^{2}\cdot y\; dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y \; dy
\end{equation*}

Funksjonen $\frac{1}{2}y$ er en funksjon som beskriver tverrsnittet i $x$-retningen av volumet vi driver og beregner. N{\aa} skal vi bare integrere denne tverrsnittsfunksjonen:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y \; dy=\frac{1}{4}y^{2}\; \bigr\rvert_{0}^{1}=\frac{1}{4},
\end{equation*}

og s{\aa} har vi funnet volumet. Alts{\aa}: dersom vi tar rektangelet mellom $x=0$, $x=1$, $y=0$ og  $y=1$ som grunnflate, og beregner integralet av funksjonen $xy$ over denne grunnflaten, f{\aa}r vi at dette legemet har volum $\frac{1}{4}$.


La oss n{\aa} kutte ned integrasjonsomr{\aa}et $D$ til det halve, alts{\aa} trekanten avgrenset av $x=0$, $y=0$, og linjen $x+y=1$. (Lurt {\aa} tegne dette opp p{\aa} et papir.) Fremgangsm{\aa}ten er den samme; vi m{\aa} f{\o}rst integrere opp den ene variabelen for {\aa} f{\aa} en funksjon som beskriver tverrsnittet av volumet vi skal ha, og s{\aa} integrere denne funksjonen. 
Men nå blir det litt mer komplisert, for vi får et funksjonsuttrykk i en integrasjonsgrense i det innerste integralet.
Integralet blir

\begin{equation*}
\iint_D f(x,y) \; dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y}xy \; dxdy.
\end{equation*}

Forskjellen fra i sted er at det st{\aa}r $1-y$ istedet for 1 i den innerste integrasjonsgrensen. Dette fordi at n{\aa}r vi skal beregne det innerste integralet for {\aa} lage  tverrsnittsfunksjonen, skal vi bare integrere ut til linjen $x=1-y$, ikke helt ut til $x=1$. Vi integrerer:

\begin{equation*}
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y}xy \; dxdy=\int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^{2}y\bigr\rvert_{0}^{1-y}  \; dy= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-y)^{2}y  \; dy
\end{equation*}


S{\aa} n{\aa} har vi, akkurat som i sted, f{\aa}tt en funksjon som gir oss tversnittet av integrasjonsvolumet som en funksjon av $y$. Vi fortsetter:

\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-y)^{2}y  \; dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}y-2y^{2}+y^{3}  \; dy=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}y^{2}-\frac{2}{3}y^{3}+\frac{1}{4}y^{4}\right)\biggr\rvert_{0}^{1}=\frac{1}{24}
\end{equation*}

S{\aa} da blir alts{\aa} volumet under flaten $\frac{1}{24}$ for dette integrasjonsomr{\aa}det.

\begin{oppgave}{1}
  Skisser integrasjonsområdet til
  \begin{equation*}
    \int_{0}^2\int_{|y-1|}^1 (x + 2y) \dee x \dee y,
  \end{equation*}
    og regn ut det itererte integralet.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Beregn dobbeltintegralet:
\begin{align*}
\int_{0}^{\pi}\int_{-x}^{x}\cos(y)\;dy\;dx.
\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{3}
Beregn dobbeltintegralet \textbf{ved inspeksjon}:
\begin{align*}
\iint_{x^2+y^2\leq a^2}(a-\sqrt{x^2+y^2})\;dA.
\end{align*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Finn gjennomsnittverdien til $x^2+y^2$ over trekanten $0\leq x\leq a,\quad 0\leq y\leq a-x$.
\\[-6pt]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Beregn dobbeltintegralet
\begin{align*}
\iint_{R}\frac{x}{y}e^{y}\;dA
\end{align*}der $R$ er området $0\leq x\leq 1, x^2\leq y\leq x$.
\\[-6pt]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Avgjør om integralet konvergerer eller ikke:
\begin{align*}
\iint_{Q}e^{-x-y}\;dA
\end{align*}der $Q$ er første kvadrant i $xy$-planet. Hvis det konvergerer, evaluer det.
\\[-6pt]
\end{oppgave}
\end{document}
