\title{Massesenter}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Det finnes en tredje måte å visualisere en funksjon $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ gitt ved
\[
z=f(x,y)
\]
på,
nemlig massetetthet. 
Integralet 
\[
\iint_D f(x,y) \; dA
\]
blir da platen $D$ sin totale masse.


\begin{oppgave}{1}
En kjøkkenbenk med en buet ende er avgrenset av $x=0$, $x=1$, $y=0$ og $y=\sin x$. 
Den har konstant massetetthet lik 1, 
og Ole Bjørn lurer på om han klarer å løfte den. 
Finn kjøkkenbenkens totale masse.
\end{oppgave}

Hvis du tenker på $f$ som massetetthet, 
er det nærliggende å beregne platens massesenter. 
Dette er koordinatene til det punktet der Ole Bjørn kan balansere platen med en finger,
og er gitt ved formlene
\[
m_x=\frac{\iint_D xf(x,y) \; dA}{\iint_D f(x,y) \; dA}
\]
og
\[
m_y=\frac{\iint_D yf(x,y) \; dA}{\iint_D f(x,y) \; dA}
\]

\begin{oppgave}{2}
Ole Bjørn ønsker å balansere kjøkkenbenken på en finger i forbindelse med en jubileumskonkurranse i byggevarebutikken. 
Han må derfor beregne kjøkkenbenkens massesenter. 
Hjelp ham med det.
\end{oppgave}

Du kan som sagt også tenke på $f$ som taket i et hus. 


\begin{oppgave}{2}
Ole Bjørn har bygget et hus med en interessant grunnflate og skrått tak. 
Grunnflaten er området som er innesluttet mellom kurvene $y=x^2$ og $x=y^2$, 
og taket er gitt ved 
\[
f(x,y)=x+y.
\]
Finn volumet til huset.
\end{oppgave}
  
En funksjon 
$f: \mathbb R^3 \to \mathbb R$ gitt ved
\[
\rho=f(x,y,z)
\]
 kan du tenke på som massetettheten til et tredimensjonalt objekt. 
 Massesenteret er gitt ved
\[
m_x=\frac{\iiint_D xf(x,y,z) \; dA}{\iiint_D f(x,y,z) \; dV},
\]
\[
m_y=\frac{\iiint_D yf(x,y,z) \; dA}{\iiint_D f(x,y,z) \; dV},
\]
og
\[
m_z=\frac{\iiint_D zf(x,y,z) \; dA}{\iiint_D f(x,y,z) \; dV}.
\]
 La oss beregne massen og massesenteret til noen tredimensjonale objekter og. 
 
\begin{oppgave}{3}
Ole Bjørn ønsker å beregne massen til en oppvaskmaskin for å finne ut om han kan bære den opp i huset selv. 
Den har form som et rektangulært prisme avgrenset av $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$, $z=0$ og $z=\pi$, 
og har massetetthet gitt ved
\[
\rho=f(x,y,z)=\sin z.
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Finn også massesenteret til oppvaskmaskinen.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{5}
Ole Bjørn har bygget en liten modell av holmenkollbakken. 
Den har konstant massetetthet 1,
og er avgrenset av $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=2$, $z=0$ og $z=y^2$.
Finn massen og massesenteret.
\end{oppgave}

 
\begin{oppgave}{6}
Ole Bjørn sager holmenkollbanen sin i to langs med planet gitt ved $x+2y=4$.
Finn massen og massesenteret til delene.
\end{oppgave}

Her kommer noen kjedelige regneoppgaver.

\begin{oppgave}{7}
  Regn ut det itererte integralet
  \begin{equation*}
    \int_{-1}^1\int_{|y|}^1 (x + 2y) \dee x \dee y,
  \end{equation*}
  ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
  Skisser integrasjonsområdet til 
  \begin{equation*}
    \int_0^1\int_{-\sqrt{1 - y}}^{\sqrt{1 - y}} \cos \frac\pi4(3x - x^3)
    \dee x  \dee y.
  \end{equation*}
  Regn ut det itererte integralet.
\end{oppgave}

\section*{Dagens nøtt}

\begin{oppgave}{N}
  Et volum kan uttrykkes som en sum av itererte integral
  \begin{equation*}
    V = \int_0^3 \int_0^{y/3} f(x,y) \dee x \dee y + \int_3^4
    \int_0^{\sqrt{4 - y}} f(x,y) \dee x \dee y
  \end{equation*}
  hvor $f(x,y) \geq 0$.  Skisser integrasjonsområdet i $xy$-planet, og
  uttrykk $V$ med integrasjonsrekkefølgen byttet om.
\end{oppgave}



 

\end{document}
