\title{Repetisjonsøkt}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


I flervariabel kalkulus finnes det et utall integraltyper som passer til forskjellige anvendelser, 
og dette er veldig forvirrende i starten. 
Flervariabel integrasjon er antagelig det vanskeligste du skal lære i matematikkfagene på Gløshaugen. 

Det er to ting man er nø\; dt til å huske:
\begin{itemize}
\item Hva slags integrasjonsområde?
\item Hva slags integrand?
\end{itemize}
I envariable integraler er disse spørsmålene enkle - integrasjonsområdet er alltid et intervall på $\mathbb R$, 
og integranden er en funksjon $f: \mathbb R \to \mathbb R$. 
I flervariabel kalkulus er det mer å holde styr på.

\subsection*{Linjeintegraler} 

Det første integralet vi har hatt er envariabelt, 
og kalles linjeintegral. 
Integrasjonsområdet er en kurve $\Gamma$ i  $\mathbb R^n$,
parametrisert ved $\mathbf z(t)$, $a\leq t \leq b$. 
Vi kan putte inn tre forskjellige integrander.
Hvis du putter inn 1, 
får du buelengden til $\Gamma$:
\[
\int_\Gamma \; ds = \int_a^b \|\dot{\mathbf z}(t)\| \; dt
\]

\begin{oppgave}{1}
Finn lengden til kurven parametrisert ved
\[
\mathbf z(t)=[t\cos t, t\sin t, t] \quad 0\leq t \leq 2\pi.
\] 
\end{oppgave}

Som du ser, 
disse integralene ende opp med å bli ganske hårete.
Hvis du vil linjeintegrere en funksjon $f: \mathbb R^n \to \mathbb R$,
bør du tenke at $f$ beskriver massetettheten til en tråd som ligger langs $\Gamma$.
Den totale massen til tråden blir:
\[
\int_\Gamma f \; ds = \int_a^b f(\mathbf z(t)) \|\dot{\mathbf z}(t)\| \; dt
\]
Du kan også tenke at en brugde svømmer langs $\Gamma$ og spiser mikroplast. 
I så fall er $f$ tettheten av plastpartikler, 
og integralet er den totale mengden plast brugden spiser når den svømmer fra $t=a$ til $t=b$.

\begin{oppgave}{2}
En brugde svømmer langs med 
\[
\mathbf z(t)=[t\cos t, t\sin t, t] \quad 0\leq t \leq 2\pi.
\] 
og spiser plast. 
Tettheten er gitt ved $f(x_1,x_2,x_3)=x_3$. 
Finn brugdens totale konsumerte plastmengde.
\end{oppgave}

Den tredje tingen du kan putte inn, 
er den tangentielle komponenten til et vektorfelt $\mathbf F: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$. 
Dette bør du tenke på som arbeidet en kraft gitt ved $F$ gjør på en partikkel som reiser langs trajektorien $\Gamma$.
Dette høres mer komplisert ut ved første øyekast,
men i dette integralet er det en heldig kansellering som ofte gjør det enklere å beregne:
\[
\int_\Gamma \mathbf F \cdot \mathbf T \; ds = \int_a^b \mathbf F (\mathbf z(t))\cdot \frac{\dot{\mathbf z}(t)}{\|\dot{\mathbf z}(t)\|} \|\dot{\mathbf z}(t)\| \; dt=\int_a^b \mathbf F (\mathbf z(t))\cdot \dot{\mathbf z}(t) \;  dt
\]
Lengdeelementet $\|\dot{\mathbf z}(t)\|$ i linjeintegralet er jo det samme som normaliseringsfaktoren i uttrykket 
\[
\frac{\dot{\mathbf z}(t)}{\|\dot{\mathbf z}(t)\|}
\]
for enhetstangentvektoren!


\begin{oppgave}{3}
En partikkel beveger seg langs trajektorien 
\[
\mathbf z(t)=[t\cos t, t\sin t, t] \quad 0\leq t \leq 2\pi.
\] 
i et kraftfelt gitt ved 
\[
\mathbf F(\mathbf{x})=\frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|^{3}}.
\]
Finn arbeidet kraftfeltet gjør på partikkelen.
\end{oppgave}

\subsection*{Dobbeltintegraler} 

For å visualisere et dobbeltintegral
\[
\iint_D f \; dA
\]
bør du tenke at $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ er taket i et hus med grunnflate $D$. 
Det enkleste å begynne med er når $D$ er et rektangel. 

\begin{oppgave}{4}
Taket i et hus er gitt ved $f(x,y)=1+x+y$, 
og grunnflaten er et rektangel avgrenset av $x=0$, $x=2$, $y=0$ og $x=1$.
Finn volumet av huset. 
\end{oppgave}

Integralet i oppgaven over skrives enten 
\[
\iint_D f \; dA=\int_0^2 \int_0^1 1+x+y\; dy dx
\]
eller 
\[
\iint_D f \; dA=\int_0^1 \int_0^2 1+x+y\; dx dy
\]
for man kan selv velge integrasjonsrekkefølgen. 
(De blir som regel like, men ikke alltid. Dersom integralet ikke konvergerer absolutt, kan det bli problemer.)
De innerste integralene
\[
\int_0^1 1+x+y\; dy 
\]
og
\[
\int_0^2 1+x+y\; dx 
\]
kan du tenke på som tverrsnitt. 
Hvis du sager huset i to med en motorsag langs med en bestemt verdi for $x$, 
er arealet av tverrsnittet gitt ved
\[
\int_0^1 1+x+y\; dy 
\]
og sager du i to langs med en bestemt verdi for $y$, er tverrsnittsarealet
\[
\int_0^2 1+x+y\; dx.
\]
Hvis du nå husker formelen for volumet av et omdreiningslegeme:
\[
\pi \int_a^b f^2(x)dx
\]
husker du også kanskje at når vi integrerer tverrsnittsfunksjonen $\pi f^(x)$,
får vi volumet av omdreiningslegemet. 
Likeledes får vi totalvolumet når vi integrerer enten 
\[
\int_0^1 1+x+y\; dy 
\]
fra $x=0$ til $x=2$:
\[
\int_0^2 \int_0^1 1+x+y\; dy dx
\]
eller 
\[
\int_0^2 1+x+y\; dx 
\]
fra $y=0$ til $y=1$:
\[
\int_0^1 \int_0^2 1+x+y\; dx dy
\]

Nå kommer vi til det mest forvirrende av alt. 
La oss si at vi sager $D$ i to på skrå, 
langs med linjen $x=2y$.
Vi lar nå $D$ være den nederste av de nye bitene, 
og ønsker å beregne volumet med denne nye grunnflaten men samme tak $f(x,y)$. 

\begin{oppgave}{5}
Tegn opp, 
og forklar at funksjonen som beskriver arealet av tverrsnittet kan skrives enten 
\[
\int_0^{x/2} 1+x+y\; dy 
\]
eller
\[
\int_{2y}^1 1+x+y\; dx.
\]
Finn så volumet av huset begge veier. 
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{6}
Vi prøver oss nå på en grunnflate. 
La oss ta det området som ligger mellom $y=x^2$ og $x=y^2$. 
Forklar at volumet blir 
\[
\int_0^1 \int_{x^2}^{\sqrt{x}} 1+x+y\; dy dx
\]
og regn ut.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{7}
Ta nå området som ligger i den delen av enhetsirkelen som ligger i første kvadrant.
Forklar at volumet blir 
\[
\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} 1+x+y\; dy dx
\]
og regn ut.
\end{oppgave}

Det ble nok litt regning på forrige oppgave. 
Takk og lov for polarkoordinater.
Dersom du har et området som er sirkulært av natur, 
er det mye enklere å bruke polarkoordinater. 
Integralet blir
\[
\iint_D f \; dA=\int_\alpha^{\beta} \int_a^b f(r\cos \theta, r\sin \theta) \; r dr d\theta
\]
Du bør kanskje gjøre som von Neumann,
og begynne med å venne deg til dette. 
Det kommer til å bli lettere å forstå når vi har hatt flateintegraler om noen uker. 
\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=.2]{polar}
\end{figure}

\begin{oppgave}{8}
Regn ut oppgaven over i polarkoordinater, 
og nyt hvor mye lettere alt blir.
\end{oppgave}

Nå skal vi ta en oppgave som kombinerer litt linjeintegral og dobbeltintegral, 
og samtidig peker litt fremover i pensum.

\begin{oppgave}{9}
  La $D$ være området begrenset av $x$-aksen og halvsirkelen
  $x^2 + y^2 = 9$, $y\geq 0$, og la $\Gamma$ være randen til $D$ orientert
  mot klokken. La vektorfeltet $\mathbf F : \mathbf R^2 \to \mathbf R^2$ være gitt
  ved
  \begin{equation*}
    \mathbf F (x,y) = (F_1(x,y),F_2(x,y))=(x^2y,-xy^2).
  \end{equation*}
    Finn $\int_\Gamma \mathbf F \cdot \mathbf T \; ds$
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{10}
Regn ut 
\[
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}
\]
og finn så 
\[
\iint_D\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\; dA.
\]
Sikkert lurt å bruke polarkoordinater. 
Ser du noe artig? 
(Hint: slå opp 16.3 i Adams.)
\end{oppgave}



\end{document}
