\title{Gradienten}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

En funksjon $\mathbb R^n\to \mathbb R$ gitt ved
\[
z=f(\mathbf x)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)
\]
har $n$ partiellderiverte.
Den $k$-te partiellderiverte skriver vi 
\[
\frac{\partial f}{\partial x_k},
\]
eller 
\[
f_{x_k}.
\]
Hver av disse er en funksjon $\mathbb R^n\to \mathbb R$ som forteller hvor mye $f$ stiger i retningen $x_n$. 
Det er vanlig å sette de partiellderiverte i en vektor som kalles gradienten:
\[
\nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right]
\]
Gradienten er en funksjon $\mathbb R^n\to \mathbb R^n$, 
altså et vektorfelt.

Det første vi må gjøre, 
er å finne ut hvordan vi beregner stigningen i en vilkårlig retning. 
Gå i Adams og let etter directional derivative. 

\begin{oppgave}{1}
Du går på fjelltur på et fjell som har fasongen 
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
Du står i punktet $(x,y)=(1,1)$ og går i retningen $(-1,2)$. 
Hvor bratt oppoverbakke går du i?
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{2}
Bruk nå din kunnskap om skalarprodukt til å finne ut i hvilken retning du skal gå om du vil gå så bratt som mulig. 
\end{oppgave}

Hvis du fikk til forrige oppgave, 
har du nå skjønt at gradienten er to ting på en gang:

\begin{itemize}
\item Stigningen i hver koordinatretning
\item Den retningen der funksjonen har brattest stigning
\end{itemize}


Dette kan vi utnytte geometrisk. 
La oss se litt mer på fjellet.

\begin{oppgave}{3}
Finn et uttrykk for fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
sin skjæringskurve med $(x,y)$-planet. Hva slags kurve er det?
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
Finn en parametrisering for ovennevnte kurve.
\end{oppgave}

Hvis du fikk til oppgavene over, 
har du nå tilgang på to forskjellige beskrivelser av kurven:

\begin{itemize}
\item Algebraisk likning $f(x,y)=0$. 
\item Parametrisering $(x(t),y(t))$.
\end{itemize}

Vi har tidligere sett at dersom du har en parametrisering av en kurve, 
er det lett å finne tangent- og normalvektor:\\ 
\url{https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4106/2021v/notater/06-vektorfunksjoner.pdf}\\
Vi skal nå se at gradienten kan brukes til det samme.


\begin{oppgave}{5}
Tenk at du står på ski i en slalombakke gitt ved $z=f(x,y)$. 
Du vet at dersom du skal sette rett utfor så bratt som overhodet mulig, 
bør du peke skiene i retningen gitt av $\nabla f$. 
Hva er vinkelen mellom den bratteste retningen og den retningen der skiene står vannrett?
(Altså den retningen skiene peker når du har til hensikt å stå helt stille og nyte utsikten.) 
\end{oppgave}

Du husker kanskje at en likning på formen $f(x,y)=0$ beskriver en nivåkurve for $f$, 
altså en kurve der $f$ er konstant. 

\begin{oppgave}{6}
Bruk oppgaven over til å forklare hvorfor $\nabla f$ står normalt på kurven $f(x,y)=0$. 
\end{oppgave}

Hvis du har skjønt alt over, 
er det relativt lett å forklare noe som kalles Lagranges multiplikatormetode. 
La oss si at du går på fjellet gitt av $z=f(x,y)$ og at gps-tracken din er gitt av en kurve med likning $g(x,y)=0$.
I figuren under er en person ute og går på Gråkallen. 
Ekvidistanselinjene på kartet er nivåkurvene til $f$, 
og vedkommende går en elliptisk tur gitt av den oransje kurven. 
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.4]{tur}
\end{center}
\end{figure}

\begin{oppgave}{7}
Forklar ved hjelp av figuren at for det høyeste punktet på turen,
bør gradientene til $f$ og $g$ være parallelle,
altså at 
\[
\nabla f=\lambda \nabla g
\]
for en konstant $\lambda$.
\end{oppgave}




\begin{oppgave}{8}
Du går på fjellet
\[
z=3-x^2-2y^2.
\]
langs med trajektorien gitt ved $(x-1)^2+(y-1)^2=1$. 
Finn det høyeste punktet på turen din.
\end{oppgave}

%\subsection*{Dagens moro} 
%
%\begin{oppgave}{7} 
%\end{oppgave}

\end{document}
