\title{Mer om flater}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

I denne uken skal vi se på flater i rommet. 
Når man skal skjønne noe av funksjoner fra $\mathbb R^n$ til $\mathbb R^m$ er det fornuftig å ha den riktige visualiseringen.
Du vet at en funksjon fra $\mathbb R^2$ til $\mathbb R$ gitt ved 
\[
z=f(x,y)
\]
kan visualiseres som en flate i rommet. 
Man tenker på det som et hus, 
der $(x,y)$ angir en koordinat i husets gulv, 
og så gir $f$ takhøyden i dette punktet. 

Likningen 
\[
z=f(x,y)
\]
er en likningen med tre variable som er løst for den ene variabelen $z$.
Flater i rommet kan ofte beskrives ved slike likninger, 
men de trenger jo ikke være løst for den ene variabelen.

\begin{oppgave}{1}
Finn likningen for en kule med radius $R$ og sentrum i $(x_0,y_0,z_0)$.
\end{oppgave}


En mer generell måte å beskrive flater i rommet på,
er ved hjelp av funksjoner fra $\mathbb R^2$ til $\mathbb R^3$.
Dersom vi har en slik funksjon til å beskrive flaten, 
sier vi at flaten er parametrisert. 
Dette er analogt til kurver i planet.
Både $f:\mathbb R \to \mathbb R$ gitt ved 
\[
y=f(x)
\] 
og $z:\mathbb R^2 \to \mathbb R$  gitt ved  
\[
\mathbf z(t)=(z_1(t),z_2(t))
\]
beskriver kurver i planet,
men funksjonstypene oppfører seg forskjellig. 
(Du kan for eksempel ikke beskrive en kurve som krysser seg selv med en likning på formen $y=f(x)$.)
 
\begin{oppgave}{2}
En funksjon  $\mathbb R^2$ til $\mathbb R^3$ er gitt ved 
\begin{align*}
x(\theta,\phi)&= \cos \theta \sin \phi \\
y(\theta,\phi)&= \sin \theta \sin \phi \\
z(\theta,\phi)&= \cos \phi 
\end{align*}
Finn ut hva slags type flate det er.
\end{oppgave}

Nå skal vi se på hvordan vi regner ut overflatearealet til en parametrisert flate. 

\begin{oppgave}{3}
En flate er gitt ved parametriseringen 
\[
\mathbf z(\mathbf x)=
\begin{pmatrix}
z_1(x_1,x_2)\\
z_2(x_1,x_2)\\
z_3(x_1,x_2)
\end{pmatrix}
\]
Les kap. 15.5 i Adams
og forklar hvorfor arealet av en bitte liten bit av denne flaten blir 
\[
\left|\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1} \times \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}\right| 
\]
\end{oppgave}
 Se også her:\\
 \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_surface}
 
\begin{oppgave}{4}
Finn overflatearealet til enhetskulen.
\end{oppgave}


Analogt til linjeintegral, 
definerer vi flateintegral over skalarfelt som 
\[
\iint_{\mathcal{S}} f dS=\iint_D f\left(\mathbf z(\mathbf x)\right) \left|\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1} \times \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}\right| \; dA
\]
der $\mathcal{S}$ er flaten parametrisert av $\mathbf z$ og $D$ definisjonsmengden til $\mathbf z$.
Du bør tenke på $f$ som massetetthet målt i masse per arealenhet, 
og på flateintegralet som den totale massen til flaten $\mathcal{S}$ gitt denne massetettheten.


\begin{oppgave}{5}
Hva veier en ting formet som enhetskuleskallet og har massetetthet gitt ved $f(\mathbf z)=1+z_3$?
\end{oppgave}

En ting som er greit med flateintegraler,
er at om man har skjønt dette, 
blir det enkelt å skjønne koordinatskift i dobbeltintegraler.
Du kan tenke på de originale koordinatene som definisjonsmengden til parametriseringen for flaten,
og på de nye koordinatene som en flate med $z_3=0$.


\begin{oppgave}{6}
Bruk dette til å forklare hvorfor arealelementet er $rdrd\theta$ i polarkoordinater.
\end{oppgave}

\section*{Ukens nøtt}

\begin{oppgave}{7}
Massesenteret til en todimensjonal ting med masstetthet $\rho$ er definert som 
\[
m_x=\frac{\iint_{\mathcal{S}} x\rho\; dS}{\iint_{\mathcal{S}} \rho dS}
\]
osv.
Finn massesenteret til 
et kakestykke med radius $R$, 
uniform tetthet og vinkelutslag $2\alpha$.
\end{oppgave}
\end{document}
