\title{Fluksintegraler}

\input{preamble}




\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle


En funksjon fra $\mathbb R^3$ til $\mathbb R^3$ er vel greiest å tenke på som væskeflyt. 
Du putter inn et punkt i rommet, 
og får ut en tredimensjonal vektor som beskriver væskeflyten i det punktet.
Dette akkurat som funksjoner fra $\mathbb R^2$ til $\mathbb R^2$, 
men mer realistisk og vanskeligere å se for seg.
Elektrisk felt er selvfølgelig en klassiker. 
Coulombfeltet fra en punktladning $q$ plassert i origo er:
\begin{align*}
\mathbf F(\mathbf x)&=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\mathbf x}{|\mathbf x|^3}=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{[x_1,x_2,x_3]}{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{3/2}}\\
&=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\left[\frac{x_1}{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2 \right)^{3/2}},\frac{x_2}{\left(x_1^2+x_2^2 +x_3^2\right)^{3/2}},\frac{x_3}{\left(x_1^2+x_2^2 +x_3^2\right)^{3/2}}\right]
\end{align*}

Sett at vi har en flate $\mathcal S$ med enhetsnormalvektor $\mathbf N$.
Det viktigste konseptet å lære i denne bolken kalles fluksintegral:
\[
\iint_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \mathbf N\; dS
\]
Dette er flateintegralet til skalarfeltet $\mathbf F \cdot \mathbf N$,
og forteller om vektorfeltet $\mathbf F$ sin totale utstrømning gjennom flaten $\mathcal S$. 
Tenk at du står ute i en elv med vadebukser og holder en tom ramme under vann eller noe slikt og måler hvor mange liter vann som flyter gjennom rammen per tidsenhet.
For å få grepet om dette, 
er det mange ingredienser som må på plass. 
Begynn med å lese 15.6 i Adams.

\begin{oppgave}{1}
La flaten være 
parametrisert ved $\mathbf z (\mathbf x)$.
Forklar at de partiellderiverte 
\[
\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1} \quad \text{og} \quad \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}
\]
begge er tangentvektorer til flaten.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{2}
Forklar at enhetsnormalvektoren til flaten er gitt ved 
\[
\mathbf N=\frac{\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1} \times \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}}{ \left|\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1} \times \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}\right|}
\]
\end{oppgave}

Nå ser du at vi har flaks. 
Normaliseringsfaktoren i enhetsnormalvektoren til flaten er jo den samme som arealelementet i flateintegralet,
og disse kansellerer på samme måte som de gjorde for linjeintegral over vektorfelt: 
\[
\iint_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \mathbf N\; dS = \iint_{D} \mathbf F(\mathbf z(\mathbf x)) \cdot \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1} \times \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2} \; dA 
\]
(Husk at $D$ er verdimengden til $\mathbf z$, altså det du må putte inn i $\mathbf z$ for å få ut $\mathcal S$.)
Nå tar vi noen klassikere fra vanlig M2.

\begin{oppgave}{3}
  La $\mathcal S$ være den triangulære flaten med hjørner $(1,0,0)$,
  $(0,1,0)$ og $(0,0,1)$, og la vektorfeltet $\mathbf F : \mathbb R^3 \to
  \mathbb R^3$ være gitt ved $\mathbf F(x,y,z) = (x,y,z)$.  La $\mathbf n$ være
  enhetsnormalen til $\mathcal S$ med positiv $\mathbf k$-komponent.  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iint_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \mathbf n \dee S.
  \end{equation*}
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{4}
  La $\mathcal S$ være den øvre halvdelen ($z \geq 0$) av kuleflaten med
  radius $1$ og sentrum i origo, og la vektorfeltet $\mathbf F : \mathbb R^3
  \to \mathbb R^3$ være gitt ved $\mathbf F(x,y,z) = (x,y,0)$.  La $\mathbf n$ være
  enhetsnormalen til $\mathcal S$ som peker vekk fra origo.  Regn ut
  \begin{equation*}
    \iint_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \mathbf n \dee S.
  \end{equation*}
\end{oppgave}


\begin{oppgave}{5}
En ladning $q$ er omgitt av et kuleskall sentrert i ladningen og med radius 1. 
Finn coulombfeltets utstrømning gjennom kuleskallet. 
\end{oppgave}

Nå en oppgave om vanlig flateintegral. 

\begin{oppgave}{6}
  Betrakt flaten gitt ved $z = \sqrt{2xy}$, med $1 \leq x \leq 5$ og
  $1 \leq y \leq 2$. Hva er flatens masse dersom massetettheten er
  gitt ved $\rho(x,y,z) = 6z$?
\end{oppgave}


\subsection*{Ukens nøtter} 

\begin{oppgave}{7}
  La $\mathcal S$ være kuleflaten som oppfyller ligningen $x^2 + y^2 + z^2 =
  9^2$.  Finn arealet av den delen av $\mathcal S$ som ligger over planet $z
  = 2$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}{8}
  Flaten $\mathcal S$ er beskrevet ved parametriseringen
  $\mathbf s : D \to \mathbb R^3$ der
  \begin{equation*}
    \mathbf s(r,\theta) = \left(r\cos \theta, r\sin \theta, r^2\right)
  \end{equation*}
  og
  \begin{equation*}
    D = \bigl\{ (r,\theta) \mid \sqrt{2} \leq r \leq \sqrt{6}, 0 \leq
    \theta \leq 2\pi\bigl\}.
  \end{equation*}

  Finn arealet av $\mathcal S$.
\end{oppgave}

\end{document}
