\input{preamble}

\title{Ting du bør kunne skrive ned uten å konsentrere deg så veldig hardt}

\begin{document}
\pagenumbering{gobble}

\maketitle

Det er ingen hjelpemidler på eksamen i TMA4111,
så derfor er man pent nødt til å huske en del ting. 
Det er litt arbeid, 
men det å huske noe er for de fleste en grei lakmustest på om du har skjønt det, 
for det er ikke mulig å pugge hele pensum uten å forstå noe som helst.

For hver av de grå boksene i denne filen bør du klarer å lage omtrent en A4-side; 
fyll siden på din egen måte med teoremer, 
eksempler, 
figurer og logiske implikasjonsrekker. 

\textbf{Bruk penn og papir, 
ikke tablet eller datamaskin,
for da husker du antagelig mye bedre:}\\
\url{https://neurosciencenews.com/hand-writing-brain-activity-18069/}

\section*{Funksjoner fra $\mathbb R^n$ til  $\mathbb R^m$}


\begin{tcolorbox}[title=Derivasjon]
La $\mathbf F: \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ være gitt ved 
\[
\mathbf F(\mathbf x)=
\begin{bmatrix}
F_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\
F_2(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\
\vdots \\
F_m(x_1,x_2,\cdots,x_n) 
\end{bmatrix}
\]
Da er 
\[
\mathbf F'(\mathbf x)=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\[5pt]
\frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_2}{\partial x_n} \\[5pt]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots   \\
\frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \frac{\partial F_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \\[5pt]
\end{bmatrix}
\]
Denne kalles gjerne Jacobimatrisen til $\mathbf F$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=Viktig spesialtilfelle I]
Dersom $\mathbf z: \mathbb R \to \mathbb R^m$,
%\[
%\mathbf z(t)=
%\begin{bmatrix}
%z_1(t) \\
%z_2(t) \\
%\vdots \\
%z_m(t) \\
%\end{bmatrix}
%\]
skriver vi $\dot{\mathbf z}$ istedet for $\mathbf z'$, 
og 
\[
\dot{\mathbf z}=
\begin{bmatrix}
\dot{z}_1 \\
\dot{z}_2 \\
\vdots \\
\dot{z}_m \\
\end{bmatrix}
\]
Vektoren $\dot{\mathbf z}$ er tangenten til kurven $\mathbf z$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=Viktig spesialtilfelle II]
Dersom $\mathbf f: \mathbb R^n \to \mathbb R$, 
skriver vi 
\[
\nabla f = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_1} 
\end{bmatrix}
\]
Komponent $k$ i denne vektoren angir stigningen i retningen til $x_k$.
Dersom du ønsker stigningen i en vilkårlig retning gitt av enhetsvektoren $\mathbf v$, 
er denne gitt ved
\[
\mathbf v \cdot \nabla f  
\]
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=Viktig spesialtilfelle III]
Dersom $\mathbf F: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$,
kan vi beregne
\[
\det \mathbf F'(\mathbf x)
\]
som kalles Jacobideterminanten. 
Denne forteller noe om hvor mye $\mathbf F$ krymper eller utvider områder i $\mathbb R^n$, 
og  dukker opp som volumkompensasjon når $\mathbf F$ brukes som variabelskifte i multiple integraler.
\end{tcolorbox}


\begin{tcolorbox}[title=Kjerneregelen i flere variable]
La $\mathbf F: \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ og  $\mathbf G: \mathbb R^k \to \mathbb R^n$ og $\mathbf H=\mathbf F(\mathbf G)$.
Da er  $\mathbf H'$ gitt ved matriseproduktet
\[
\mathbf H'=\mathbf F'\left(\mathbf G\right)\mathbf G'
\]
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=To viktige koordinattransformasjoner]
Funksjoner fra $\mathbf F: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ kalles i noen tilfeller koordinattransformasjon, 
for eksempel i forbindelse med variabelskift i multiple integraler.
To viktige transformasjoner er sylinderkoordinater $(r,\theta,h) \to (x_1,x_2,x_3)$:
\begin{align*}
&x_1 =r\cos \theta \\
&x_2 =r\sin \theta \\
&x_3 =h
\end{align*}
%som tar en rektangulær boks i $(r,\theta,h)$ til en sylinder i $(x_1,x_2,x_3)$,
og kulekoordinater $(r,\theta, \phi) \to (x_1,x_2,x_3)$:
\begin{align*}
&x_1 =r\cos \theta \sin \phi \\
&x_2 =r\sin \theta \sin \phi \\
&x_3 =r \cos \phi
\end{align*}
%som tar en rektangulær boks i $(r,\theta, \phi)$ til en kule i $(x_1,x_2,x_3)$.
\end{tcolorbox}





\section*{Integraler}

\begin{tcolorbox}[title=Buelengden til en parametrisert kurve]
En kurve ${\mathcal{C}}$ i $\mathbb R^n$ parametrisert ved $\mathbf z: (a,b) \to \mathbb R^n $ har buelengde
\[
\int_{\mathcal{C}} ds = \int_a^b \left\|\dot{\mathbf z}(t)\right\|\; dt
\]
\end{tcolorbox}


\begin{tcolorbox}[title=Linjeintegral over skalarfelt]
Dersom en kurve ${\mathcal{C}}$ i $\mathbb R^n$ er parametrisert ved $\mathbf z: (a,b) \to \mathbb R^n $, 
er linjeintegralet til $f:\mathbb R^n \to \mathbb R$ over ${\mathcal{C}}$ gitt ved
\[
\int_{\mathcal{C}} f ds = \int_a^b f\left(\mathbf z (t)\right) \left\|\dot{\mathbf z}(t)\right\|\; dt
\]
Man kan ved kjerneregelen vise at dette integralet ikke avhenger av hvilken parametrisering $\mathbf z$ man har valgt for ${\mathcal{C}}$. 
Du bør tenke på ${\mathcal{C}}$ som en tråd med massetetthet $f$. 
Integralet blir da trådens totale masse. 
(Eller brugde og planktontetthet og totalt næringsinntak.)
\end{tcolorbox}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.1]{brugde}\\
Greg Skomal / NOAA Fisheries Service
\end{center}
\end{figure}

\vspace{-.9cm}

\begin{tcolorbox}[title=Linjeintegral over vektorfelt]
Dersom en kurve ${\mathcal{C}}$ i $\mathbb R^n$ er parametrisert ved $\mathbf z: (a,b) \to \mathbb R^n $, 
er linjeintegralet til $\mathbf F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ over ${\mathcal{C}}$ gitt ved
\[
\int_{\mathcal{C}} \mathbf F \cdot ds = \int_a^b \mathbf F\left(\mathbf z (t)\right) \cdot \dot{\mathbf z}(t)\; dt
\]
Dette integralet har fremkommet ved å stappe tangentialkomponenten 
\[
\mathbf  F\left(\mathbf z (t)\right) \cdot \frac{\dot{\mathbf z}(t)}{\|\dot{\mathbf z}(t)\|}
\] inn i formelen for linjeintegral over skalarfelt. 
Du bør tenke på $\mathbf F$ som en kraft, 
og på integralet som det totale arbeidet $\mathbf F$ gjør på en partikkel som reiser langs $\mathcal{C}$.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=Overflatearealet  til en parametrisert flate]
En flate ${\mathcal{S}}$ parametrisert ved $\mathbf z: D\to \mathbb R^3$ har overflateareal 
\[
\iint_{\mathcal{S}} dS = \iint_D \left\|\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1}\times\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}\right\|\; d\mathbf x
\]
Her er $\iint_D$ et vanlig dobbeltintegral over området  $D \in \mathbb R^2$, 
altså definisjonsmengden til $\mathbf z$.
Kryssproduktet er $\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1}\times\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}$ er en normalvektor til flaten ${\mathcal{S}}$. 
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=Flateintegral over skalarfelt]
Dersom en flate ${\mathcal{S}}$ er parametrisert ved $\mathbf z: D\to \mathbb R^3$,
er flateintegralet til $f:\mathbb R^3 \to \mathbb R$ gitt ved
\[
\iint_{\mathcal{S}} f dS = \iint_D f\left(\mathcal z(\mathbf x)\right) \left\|\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1}\times\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}\right\|\; d\mathbf x
\]
Også her bør du tenke på $f$ som massetetthet og integralet som flaten ${\mathcal{S}}$ sin totale masse.
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=Flateintegral over vektorfelt]
Dersom en flate ${\mathcal{S}}$ er parametrisert ved $\mathbf z: D\to \mathbb R^3$,
er flateintegralet til $\mathbf F:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ gitt ved
\[
\iint_{\mathcal{S}} \mathbf F \cdot dS = \iint_D \mathbf F\left(\mathcal z(\mathbf x)\right) \cdot \frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1}\times\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2} \; d\mathbf x
\]
Dette integralet har fremkommet ved å stappe normalkomponenten 
\[
 F\left(\mathcal z(\mathbf x)\right) \cdot \frac{\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1}\times\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}}{\left\|\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_1}\times\frac{\partial \mathbf z}{\partial x_2}\right\|}
 \]
 inn i formelen for flateintegral over skalarfelt. 
Du bør tenke på $\mathbf F$ som strømningen i en væske, 
og på integralet om den totale flyten gjennom flaten ${\mathcal{S}}$.
Hvis du liker elektromagnetisme, 
bør du heller tenke på $\mathbf F$ som elektrisk felt,
og på integralet som elektrisk fluks gjennom  flaten ${\mathcal{S}}$.
\end{tcolorbox}

\section*{Vektorkalkulus}

\begin{tcolorbox}[title=Divergensteoremet]
Dersom $\mathbf F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ er kontinuerlig deriverbar og $\Omega\in \mathbb R^3$ har stykkvis glatt overflate, er
\[
\iiint_\Omega \nabla \cdot \mathbf F=\iint_{\partial \Omega} \mathbf F \cdot dS
\]
\end{tcolorbox}

\begin{tcolorbox}[title=Stokes teorem]
Dersom $\mathbf F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ er kontinuerlig deriverbar og $\Omega\in \mathbb R^3$ er en glatt orientert flate med glatt rand $\partial \Omega$, er
\[
\iint_\Omega \nabla \times \mathbf F=\int_{\partial \Omega} \mathbf F \cdot dS
\]
\end{tcolorbox}


\section*{Fouriertransform}

\begin{tcolorbox}[title=Fouriertransform]
Fouriertransformen til et signal $x$ er 
\[
X(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-i\omega t}\; dt
\]
\end{tcolorbox}

\section*{Laplacetransform}

\begin{tcolorbox}[title=Laplacetransform]
Laplacetransformen til et signal $x$ er 
\[
X(s) =\int_0^\infty x(t)e^{-st} \; dt.
\]
\end{tcolorbox}


\end{document}
