\documentclass[titlepage,a4paper,12pt,norsk]{IMFeksamen}
\usepackage[utf8]{inputenc} % erstatt evt utf8 med latin1
\trykkinfo[tosidig,sorthvit] % [ensidig,farger]
\emnekode{TMA4111}
\emnenavn{Matematikk 3 for MTELSYS - TEST I}
\eksamensdato{}
\eksamenstid{09:00 - 13:00}
%\fagligkontaktinfo{Helge Holden}{xx xx xx xx }
%\fagligkontaktinfo{Louis-Philippe Thibault}{xx xx xx xx}
\fagligkontaktinfo{Morten Andreas Nome}{}
\hjelpemiddel{Ingen hjelpemidler tillatt.}
\anneninfo{Denne eksamenen består av 10 delpunkt som alle teller like mye. Alle svar skal begrunnes, og veien til svaret er viktigere enn svaret. Husk derfor å skrive alle steg i beregningene dine. Lykke til.}
\runninghead{TMA4111 Matematikk 3 for MTELSYS - 2021h}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern,amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage[european,americanvoltages,americaninductors]{circuitikz}
\usepackage{setspace}



\begin{document}

\begin{oppgave}
Beregn
\[
\int_\Gamma \mathbf F \cdot ds
\]
der 
\[
\mathbf F(z_1,z_2,z_3)=
\begin{pmatrix}
z_1\\
z_2 \\
z_3+\sin z_3
\end{pmatrix}
\]
og $\Gamma$ er en glatt kurve som starter i  $(1,1,1)$ og slutter i $(0,0,0)$.
\end{oppgave}



\begin{oppgave}
Et vektorfelt er gitt ved 
\[
\mathbf F(x_1,x_2)=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\left(x_1+x_2\right)^2 \\
x_2 
\end{pmatrix}
\]
og et annet ved
\[
\mathbf G(z_1,z_2,z_3)=
\begin{pmatrix}
-z_1-z_2\\
z_1+z_2+z_3
\end{pmatrix}
\]
\begin{punkt}
Finn jacobimatrisen til $\mathbf H(\mathbf z)=\mathbf F(\mathbf G(\mathbf z))$.
\end{punkt}
\begin{punkt}
Finn 
\[
\iint_{\partial \Omega } \mathbf H \cdot dS
\]
\end{punkt}
der $\Omega$ er sylinderen gitt av $z_1^2+z_2^2 \leq 1$ og $0\leq z_3 \leq 1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Finn den største og minste verdien til $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ på kvadratet gitt ved ulikhetene $0\leq x \leq 1$ og $0 \leq y \leq 1$.
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
Regn ut fouriertransformen til 
\[
f(t)=
\begin{cases}
1-|t| \quad &|t|\leq 1  \\
0\quad &|t| > 1  
\end{cases}
\]
\end{oppgave}

\begin{oppgave}
En kule med radius 2, sentrert i origo, 
har massetetthet gitt ved $f(x,y)=10+xy$.
Finn massen.
\end{oppgave}


\begin{oppgave}
Det elektriske feltet fra en punktladning $q$ plassert i origo er
\[
\mathbf E(\mathbf x)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\mathbf x}{\|\mathbf x\|^3},
\]
der $\mathbf x=(x_1,x_2,x_3)$.

\begin{punkt}
Vis at $\nabla \cdot \mathbf E = \mathbf 0$ så lenge $\mathbf x \neq \mathbf 0$.
\end{punkt}

\begin{punkt}
Vis at $\nabla \times \mathbf E = \mathbf 0$ så lenge $\mathbf x \neq \mathbf 0$.
\end{punkt}

\begin{punkt}
Finn arbeidet feltet gjør på en annen partikkel med ladning $q$ som beveger seg  fra punktet $(1,1,1)$ til $(1,2,3)$. 
\end{punkt}

\begin{punkt}
Regn ut utfluksen til det elektriske feltet gjennom enhetskuleskallet,
altså
\[
\iint_{\partial \Omega } \mathbf E \cdot  dS
\]
der $\Omega$ er enhetskulen.
\end{punkt}
\end{oppgave}



\end{document}